Una forma "fuerte" del Teorema Fundamental del Álgebra

Question

Dejemos que $ n \in \mathbb{N} $ y $ a_{0},\ldots,a_{n-1} \in \mathbb{C} $ sean constantes. Por el Teorema Fundamental del Álgebra, el polinomio $$ p(z) := z^{n} + \sum_{k=0}^{n-1} a_{k} z^{k} \in \mathbb{C}[z] $$ tiene $ n $ raíces, incluyendo la multiplicidad. Si variamos los valores de $ a_{0},\ldots,a_{n-1} $ Las raíces, obviamente, cambiarán, por lo que parece natural plantear la siguiente pregunta.

Haga el $ n $ raíces de $ p(z) $ dependen de los coeficientes de una manera analítica? Más concretamente, ¿podemos encontrar holomorfo funciones $ r_{1},\ldots,r_{n}: \mathbb{C}^{n} \to \mathbb{C} $ tal que $$ z^{n} + \sum_{k=0}^{n-1} a_{k} z^{k} = \prod_{j=1}^{n} [z - {r_{j}}(a_{0},\ldots,a_{n-1})]? $$

La definición de una función holomorfa de varias variables complejas es la siguiente:

Definición Dejemos que $ n \in \mathbb{N} $ y $ \Omega \subseteq \mathbb{C}^{n} $ sea un dominio (es decir, un subconjunto abierto conectado). Una función $ f: \Omega \to \mathbb{C} $ se dice que holomorfo si y sólo si es holomorfa en el sentido habitual en cada una de sus $ n $ variables.

La existencia de $ r_{1},\ldots,r_{n}: \mathbb{C}^{n} \to \mathbb{C} $ que son continuas parece ser un resultado bien conocido (¿debido a Ostrowski, quizás?), pero no soy capaz de encontrar nada en la literatura que se ocupe de la holomorficidad de estas funciones.

Cualquier ayuda será muy apreciada. Muchas gracias.

Answer 1

Estas funciones holomorfas existen localmente siempre que te alejes de los lugares donde coinciden dos o más de las raíces, pero la situación global es más complicada. Para hacernos una idea de lo que ocurre, consideremos el caso $n=2$ es decir, las ecuaciones cuadráticas, y, para aclarar aún más las cosas, consideremos el subespacio de $\mathbb C^2$ donde $a_1=0$ . Así que estás viendo la ecuación $z^2+a_0=0$ . Las soluciones, por supuesto, son las dos ramas de $\sqrt{-a_0}$ . Son localmente holomorfas lejos del origen, pero hay un punto de bifurcación en el origen, y las dos soluciones (lejos del origen) son en realidad ramas de una única función analítica de dos valores.

La situación general es similar, pero más grande y en dimensiones superiores. Lejos del lugar $D$ donde dos (o más) de las raíces coinciden, se tiene $n$ funciones holomorfas locales, pero éstas son ramas de una única $n$ -función analítica valorada, con ramificación a lo largo del lugar $D$ .

Answer 2

Para dar un poco de expansión a la respuesta de @Andreas, examinemos un poco más de cerca la forma en que los coeficientes dependen de las raíces. Tomemos una $n$ -pareja de raíces, digamos $\rho=(\rho_1,\cdots,\rho_n)$ y formar el correspondiente $n$ -tupla cuyas entradas son los coeficientes $a=(a_0,\cdots,a_{n-1})$ del polinomio mónico cuyas raíces son las $\rho_i$ 's. Tienes el mapa $C\colon\rho\mapsto a$ y se puede preguntar cuál es el determinante jacobiano de este mapa, llamándolo $J$ . Entonces el hecho es que $J^2$ es el discriminante del polinomio $F(x)=x^n+\sum_0^{n-1}a_{n-i}x^i$ que, como probablemente sepa, es un polinomio en el $a_i$ 's. Este hecho deja muy claro, a través del Teorema de la Función Inversa, cómo y cuándo y por qué las raíces dependen de los coeficientes.