Mostrar que cada rotación en $\mathbb{R^3}$ puede escribirse como el producto de dos rotaciones de orden 2.

Question

Mostrar que cada rotación en $\mathbb{R^3}$ puede ser escrito como la producto de dos rotaciones de orden 2.

Aquí está mi intento de solución:

Sabemos que cualquier rotación en $\mathbb{R^3}$ puede ser representado como el producto de dos reflexiones. Así que escribimos nuestra rotación como $R_1R_2$ cuando la $R_j$ son reflexiones en $\mathbb{R^3}$.

Nos gustaría mostrar que $R_1R_2$=$(R_aR_b)(R_cR_d)$=$R_aR_bR_cR_d$ donde $R_aR_b$ $R_cR_d$ son rotaciones de orden 2 en $\mathbb{R^3}$. Creo que he demostrado que una rotación $R_1R_2$, que es el producto de las reflexiones en los planos $\Pi_1$ $\Pi_2$ respectivamente, es de orden dos, si y sólo si $\Pi_1$ $\Pi_2$ son perpendiculares. El próximo pensé que suficientes para mostrar que $R_1$=$R_aR_b$ (y lo mismo para $R_2$$R_c$$R_d$) y como $R_1$ $R_2$ son sólo reflejos, yo ahora intento de mostrar que cualquier reflexión puede ser escrito como el producto de dos reflexiones en planos perpendiculares.

La forma de una reflexión en el plano de la $x.n=d$ $\mathbb{R^3}$ es dado como $R(x)=x+2(d-x.n)n$.

Supongamos que tenemos $R_a$ $R_b$ como reflexiones en los planos perpendiculares (es decir, los planos han perpendicular normales), $x.n_a=d_a$ $x.n_b=d_b$ respectivamente. Como $n_a.n_b=0$, podemos ver que $R_aR_b(x)= x+2(d_1+d_2)-(x.(n_1+n_2))(n_1+n_2)$ que es de la forma requerida. De modo que para cualquier reflexión $R$$x.n=d$, podemos establecer $n_1,n_2,d_1,d_2$ tal que $d_1+d_2=d$$n_1+n_2=n$.

En primer lugar, la correcta es esta, he mostrado lo que yo estaba obligado a mostrar? También me pregunto si puede haber una mejor, tal vez geométricas manera de ir sobre la cuestión.

Disculpas si mi intento de solución es difícil de seguir, he próximo a cero experieence en la escritura formal de soluciones.

Gracias

Answer 1

Una rotación $R$ $\Bbb R^ 3$ sobre un eje $a$ por un ángulo de $\alpha$ puede ser escrito como el producto de $R_1R_2$ de dos reflexiones en los planos de $\Pi_1,\Pi_2$, donde estos planos que se cortan en $a$ a un ángulo de $\frac\alpha2$. Deje $\Pi_3$ ser perpendicular a $a$ $R_3$ la reflexión en $\Pi_3$. Entonces $$R=R_1R_2=R_1R_3R_3R_2 $$ Ahora $R_1R_3$ $R_3R_2$ son de nuevo las rotaciones (es decir, la orientación de la conservación) de la intersección de los dos planos que reflejan implicados y un ángulo de dos veces el ángulo entre los dos plaens, por lo tanto estas son las rotaciones $180^\circ$, en otras palabras: de orden dos.

Answer 2

Elegir un $\alpha\in\>\bigl]0,{\pi\over4}\bigr[\>$, denotan por $S_a$ la rotación de las $\pi$ alrededor del eje $a:=(\cos\alpha,\sin\alpha,0)$, y por $S_b$ la rotación de las $\pi$ alrededor del eje $b:=(cos\alpha,-\sin\alpha,0)$. Ahora se encargará de analizar el efecto de la rotación $T:=S_a\circ S_b$ en el estándar de la base de vectores de ${\mathbb R}^3$.

Como $S_a e_3=S_b e_3=-e_3$ se sigue que $Te_3=e_3$, lo que implica que $T$ es una rotación con eje $e_3$. Además geométricas consideraciones muestran que la $S_b e_1=\bigl(\cos(-2\alpha),\sin(-2\alpha),0\bigr)$, y esto conduce a $$Te_1=S_a\bigl(\cos(-2\alpha),\sin(-2\alpha),0\bigr)=\bigl(\cos(4\alpha),\sin(4\alpha),0\bigr)\ .$$ En total, esta muestra que $T$ es una rotación alrededor de la $e_3$-eje por el ángulo de $4\alpha\in\>]0,\pi[\>$.

A partir de estos cálculos se puede inferir que cualquier rotación alrededor de su eje puede ser realizado como un producto de dos convenientemente elegido rotaciones con ángulo de giro de las $\pi$.

Answer 3

(1) una Revisión de la rotación $R$. Es un producto de dos reflexiones :

Prueba : WLOG podemos asumir que $R$ corrige $z$-eje y gira $\theta$-rotación en $xy$-plano. Que es de $v_1:=(1,0,0)\rightarrow v_2:=(\cos\ \theta, \sin\ \theta ,0) $

Definir $$ w_1=(\cos\ \theta/4, \sin\ \theta/4,0 ),\ w_2:= (\cos\ \theta/2, \sin\ \theta/2,0 ) ,$$ $$ w_3:=(\cos\ 3\theta/4, \sin\ 3\theta/4,0 ),\ w_4 :=(\cos\ 5\theta/4, \sin\ 5\theta/4,0 )$$

Si $r_1$ es un reflejo de fijación $(0,0,1),\ w_1$ $r_2$ es un la reflexión de fijación $(0,0,1),\ w_3$ $ $ r_2\circ r_1 (v_1 ) = r_2(w_2)=v_2 $$

Y $$ r_2\circ r_1 (w_1)=r_2(w_1)=w_4 $$

Por lo tanto $$ R= r_2\circ r_1 $$

(2) la reflexión $r $ donde $r(v_1)=-v_1$, tenemos una reflexión $r'$ s.t. $r'r$ $\pi$- rotación :

Prueba : Supongamos $r'(0,1,0)=(0,-1,0)$, de modo que $$ r'r (v_1)=-v_1,\ r r(0,1,0)=r'(0,1,0)=(0,-1,0)$$

Nota : Ya $r(v_1)$ $\pi$- rotación, por lo que el $r'(v_1)=v_1$ Si $(0,\cos\ t,\sin\ t)$ es fijo por $r'$, $ $ r'r(0,\cos\ t,\sin\ t)=(0,\cos\ t,\sin\ t)$$

Que es $r'r$ $\pi$- rotación. Si resumimos esto, vamos $ r(v)=-v,\ |v|$, and fix $w\v^\asesino,\ |w|$, Entonces tenemos $r'(v\times w)=-v\times w$ $r'r(w)=w$

(3) Nuestra estrategia es encontrar un reflejo $r$ s.t. $$ R_1:=r\circ r_1,\ R_2:= r_2\circ r $$ are $\pi$-rotaciones (Que es $ R_2\circ R_1=r_2\circ r_1=R$) :

Prueba : $r_1((0,0,1)\times w_1)=-(0,0,1)\times w_1$, de modo que nos definir $r$ a ser un reflejo de fijación $(0,0,1)\times w_1,\ a(0,0,1) + bw_1 $ where $a^2+b^2=1$

Y $$((0,0,1)\times w_1 )\times ( un(0,0,1) + bw_1 )=aw_1 -b(0,0,1) $$ Here $$ r(aw_1 -b(0,0,1) )=-(aw_1 -b(0,0,1)) $$ so that $r_2$ fix $ aw_1 -b(0,0,1) $

Por lo tanto $$\bigg(aw_1 -b(0,0,1) \bigg) \perp (0,0,1)\times w_3 $$

Por lo tanto $a=0$

(4) Conclusión : $R_1$ corrige $ w_1$ $R_2$ corrige $w_3$ $R=R_2\circ R_1$

Answer 4

Tengo una "rotación de orden 2" es una rotación por $\pi$ en algún plano?

Si es así, aquí está un breve resumen de la solución, se describe en ambos álgebra de clifford términos así como el álgebra de cuaterniones idioma:

1. Un giro de 180 grados de rotación está dada por (dentro de un signo menos) bilineal multiplicación por un bivector (o, en cuaterniones, un imaginario puro de cuaterniones). Es decir, dada una unidad de avión $A$ (unidad, imaginario puro de cuaterniones), a continuación, $-AaA$ gira un vector $a$ 180 grados.

2. Dado un rotor (cuaterniones) $q$, con bivector (imaginario puro) parte $V$, calcula el $-q BB$ donde $B$ es una unidad de magnitud plano y donde los escalares parte de $BV$ es cero (en cuaterniones, $B$ sería un imaginario puro de cuaterniones ortogonal a $V$; en términos de los aviones, de la normal de $B$ es ortogonal a la normal de $v$). A continuación, $C = -qB$ corresponde también a un avión (un imaginario puro de cuaterniones). Por otra parte, si $q$ $B$ se normalizan, lo es $C$.

3. Desde $-BB = 1$ (comparar con cuaterniones, tales como $-ii = 1$),$-qBB = q$. Luego nos han demostrado que $q = CB$, para las dos de la unidad de aviones (unidad, imaginario puro cuaterniones) $C, B$---que de nuevo se corresponden con 180 grados de rotación. QED.