El problema:
Dejemos que $(B(x_{m},0.5))_{m}$ sea una secuencia de discos abiertos disjuntos en $\mathbb{R}^{2}$ centrado en $x_{m}$ y con un radio de 0,5. Sea $\psi(n)$ sea el número de estos discos contenidos en el disco abierto $B(0,n)$ (es decir, el disco centrado en (0,0) y con radio $n$ ).
Demostrar que si $\lim \inf \frac{\psi(n)}{n^{2}} = k > 0$ entonces existe un rayo que parte de (0,0) y que atraviesa un número infinito de discos $(B(x_{m},0.5))_{m}$ .
Mis pensamientos:
Este problema me parece especialmente curioso. Hay varias pistas debajo del problema:
- Use eso si $A \subset \mathbb{R}^{2}$ es medible por Lebesgue y $k \geq 0$ entonces $kA= \{ kx:x \in A \} $ también es medible por Lebesgue y $\lambda(kA)=k^{2}\lambda(A)$ .
- Usa eso $\mu( \cup _{n} A_{n}) < +\infty$ implica $\mu( \lim \sup A_{n}) \geq \lim \inf _{n} \mu (A_{n})$ para cualquier medida $\mu$ .
He pensado en llamar a $R_{\alpha}$ al rayo con ángulo $\alpha$ y $A_{n} = \{ \alpha : R_{\alpha}$ cruza $B(x_{n},0.5) \}$ . Entonces sería suficiente para demostrar que $\lim \sup A_{n} \neq \emptyset$ . Utilizando la segunda pista, basta con demostrar que $\lim \inf \mu(A_{n}) >0$ para cierta medida $\mu$ .
Se haría si pudiera encontrar una medida tal que $\mu(A_{n})=\frac{\psi(n)}{n^{2}}$ . Siento que está casi hecho pero estoy atascado durante casi una semana. ¡Gracias de antemano!
