Deje $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{C}$ ser una función suave, que es $f \in C^{\infty}(\mathbb{R}^n)$, de tal manera que $f$ y todos sus derivados pertenecen al espacio de Lebesgue $L^p(\mathbb{R}^n)$,$1 \leq p < \infty$. Estoy tratando de probar que f debe desaparecer en el infinito, que se satisface \begin{equation} \lim_{|x| \rightarrow \infty} |f(x)| = 0. \end{equation} Solo pude probar la declaración de $p=1$ (véase la nota más abajo). Cualquier ayuda es bienvenida. Muchas gracias por su atención de antemano.
NOTA (la Motivación y el Caso p=1) en Primer lugar una cuestión de notación: si $\beta_i$ es un entero no negativo para $i=1,\dots,n$, llamamos a $\beta=(\beta_1,\dots,\beta_n)$ multi-índice, se establezca $|\beta|=\beta_1+\dots+\beta_n$ como de costumbre, y \begin{equation} D^{\beta}f = \frac{\partial^{|\beta|} f}{\partial x_{1}^{\beta_1} \dots \partial x_{n}^{\beta_n}}. \end{equation} También podemos denotar por $D_i$ la derivada parcial con respecto a la i-ésima coordenada.
La relevancia de la cuestión viene de el hecho de que el espacio de funciones \begin{equation} \mathcal{D}_{L^p} = \left \{ f \in C^{\infty}(\mathbb{R}^n) : D^{\beta} f \in L^p(\mathbb{R}^n) \textrm{ for each multi-index %#%#%} \right \} \end{equation} es relevante en la teoría de las distribuciones. Este espacio vectorial es topologised a través de la familia de semi-normas \begin{equation} || f ||_{p,N} = \max \left \{ || D^{\beta} f ||_p : |\beta| \leq N \right \} \quad \quad (N=0,1,2,\dots), \end{equation} donde $\beta$ denota la norma del espacio $|| . ||_p$. Fue introducido por Schwartz en des Théories Distribuciones, Capítulo VI, $L^p(\mathbb{R}^n)$, donde me encontré con la declaración de que estoy tratando de demostrar que es un paso crucial en un notable incrustación teorema. Para el estado, también vamos a introducir el espacio $\S{8}$ (en la notación utilizada por Schwartz este espacio se denota con el símbolo $\mathcal{B_0}$) que es el espacio vectorial de todas las $\dot{\mathcal{B}}$ tal que $f \in C^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ y todos sus derivados desaparecer en el infinito. Nos topologise $f$ cree que la familia de semi-normas: \begin{equation} || f ||_{\infty,N} = \max \left \{ || D^{\beta} f ||_{\infty} : |\beta| \leq N \right \} \quad \quad (N=0,1,2,\dots), \end{equation} donde $\mathcal{B_0}$ denota la norma del espacio $|| . ||_{\infty}$.
Schwartz afirma que si $L^{\infty}(\mathbb{R}^n)$, a continuación, cada una de las $1 \leq p < \infty$ no sólo es acotado, sino que también desaparece en el infinito. Esto implica claramente que para$f \in \mathcal{D}_{L^p}$,$q \geq p$. Además, cada inclusión es continua.
Ahora volvamos a nuestra pregunta. El caso de $\mathcal{D}_{L^p} \subset \mathcal{D}_{L^q} \subset \mathcal{B_0}$ puede demostrarse de la siguiente manera. Deje $p=1$ ser una función con soporte compacto tal que $g \in C^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ en la unidad de la bola con el centro $g=1$. Fix $0$ cualquier $r > 0$ definir $x \in \mathbb{R}^n$. A continuación, establezca $g_r(x)=g(x/r)$. Si $\phi_r=fg_r$ es tal que $d > 0$ contiene el apoyo de $[-d,d]^n$, luego de reiteradas integración que nos dan para cualquier $\phi_r$: \begin{equation} \phi_r(x) = \int_{-d}^{x_1} \dots \int_{-d}^{x_n} (T\phi_r)(y) dy = \int_{-\infty}^{x_1} \dots \int_{-\infty}^{x_n} (T\phi_r)(y) dy, \end{equation} donde $x=(x_1,\dots,x_n)$ (por cierto, tenga en cuenta que la última igualdad dice que $T=D_1...D_n$ es la convolución de $\phi_r$ y la función de Heaviside $T\phi_r$$H$) . Para cualquier $\mathbb{R}^n$ definir \begin{equation} Q(R)= \{ x=(x_1,\dots,x_n) \in \mathbb{R}^n : \min\{x_1,\dots,x_n\} \leq -R \}. \end{equation} Tenemos que para cualquier $R > 0$: \begin{equation} \left| \phi_r(x) - \phi_r(z) \right| \leq \int_{Q(R)} |(T\phi_r)(y)| dy. \end{equation} Mediante el uso de Leibniz fórmula obtenemos que existe $x \in Q(R), z \in Q(R)$ tal que para cualquier $C> 0$ hemos \begin{equation} \int_{Q(R)} |(T\phi_r)(y)| dy \leq C M(R), \end{equation} donde \begin{equation} M(R) = \max \left \{ \int_{Q(R)} \left| (D^{\beta}f)(x) \right| dx : |\beta| \leq n \right \}. \end{equation} Tomando $r \geq 1$ lo suficientemente grande, obtenemos que para cualquier $R$ existe $\epsilon > 0$ tal que para cualquier $R > 0$, $x \in Q(R)$, tenemos $y \in Q(R)$. Desde $|f(x) - f(y)| < \epsilon$, llegamos a la conclusión de que para cualquier $f \in L^1(\mathbb{R}^n)$ existe $\epsilon > 0$ tal que $r > 0$ cualquier $|f(x)| < \epsilon$. Aplicando este resultado a $x \in Q(r)$, a continuación, obtener la conclusión deseada.
Una nota final. Claramente, el hecho de que $f(-x)$ desaparece en el infinito implica que $f$ está acotada. En el caso de $f$, este hecho puede ser directamente demostrado mediante el uso de la representación anterior \begin{equation} \phi_r(x) = \int_{-\infty}^{x_1} \dots \int_{-\infty}^{x_n} (T\phi_r)(y) dy. \end{equation} En realidad, a partir de esta representación y Leibniz fórmula obtenemos \begin{equation} ||f||_{\infty} \leq 2^{n} || g ||_{\infty,n} ||f||_{1,n}, \end{equation} así que, si establecemos $p=1$, llegamos a la conclusión de que \begin{equation} ||f||_{\infty} \leq A ||f||_{1,n}. \end{equation} Claramente, la misma desigualdad se aplica a cada una de las derivadas de f. Así llegamos a la conclusión de que $A=2^{n} || g ||_{\infty,n}$ y que la inclusión $\mathcal{D}_{L^1} \subset \mathcal{B_0}$ es continua. Por otra parte, también obtenemos que para $\mathcal{D}_{L^1} \hookrightarrow \mathcal{B_0}$ tenemos $1 < q < \infty$ y que la inclusión $\mathcal{D}_{L^1} \subset \mathcal{D}_{L^q}$ es continua. Lo hemos probado dos casos particulares de la general de la incrustación teorema declaró por Schwartz.
