Por qué $\sqrt{-1 \times {-1}} \neq \sqrt{-1}^2$?

Question

Sé que debe haber algo unmathematical en el siguiente, pero no sé donde está:

\begin{align} \sqrt{-1} &= i \\ \\ \frac1{\sqrt{-1}} &= \frac1i \\ \\ \frac{\sqrt1}{\sqrt{-1}} &= \frac1i \\ \\ \sqrt{\frac1{-1}} &= \frac1i \\ \\ \sqrt{\frac{-1}1} &= \frac1i \\ \\ \sqrt{-1} &= \frac1i \\ \\ i &= \frac1i \\ \\ i^2 &= 1 \\ \\ -1 &= 1 \quad !!! \end{align}

Answer 1

Entre su tercera y cuarta líneas, se utiliza $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$. Esta es sólo (garantizada) verdadero al$a\ge 0$$b>0$.

edit: Como se señaló en los comentarios, a lo que me refería era que la identidad de $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ dominio $a\ge 0$$b>0$. Fuera de ese dominio, la aplicación de la identidad es inapropiado, ya sea o no "funciona".

En general (y este es el quid de la mayoría de los "falsos" pruebas relacionadas con raíces cuadradas de números negativos), $\sqrt{x}$ donde $x$ es un número real negativo ($x<0$) en primer lugar debe ser reescrito como $i\sqrt{|x|}$ antes de cualquier otra manipulaciones algebraicas se pueden aplicar (porque las identidades relativas a la manipulación de las raíces cuadradas [tal vez exponenciación con no exponentes de números enteros en general] requieren números no negativos).

Esta pregunta similar, centrado en $-1=i^2=(\sqrt{-1})^2=\sqrt{-1}\sqrt{-1}\overset{!}{=}\sqrt{-1\cdot-1}=\sqrt{1}=1$, es el uso de la identidad similar a $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$, que tiene el dominio $a\ge 0$$b\ge 0$, por lo que la aplicación es al $a=b=-1$ no es válido.

Answer 2

Isaac respuesta es correcta, pero puede ser difícil de ver si no tienen un buen conocimiento de sus leyes. Estos problemas son generalmente fáciles de resolver si uno lo analiza línea por línea y simplificar ambos lados.

$$\begin{align*} \sqrt{-1} &= \hat\imath & \mathrm{LHS}&=i, \mathrm{RHS}=i \\ 1/\sqrt{-1} &= 1/\hat\imath & \mathrm{LHS}&=1/i=-i, \mathrm{RHS}=-i \\ \sqrt{1}/\sqrt{-1} &= 1/\hat\imath & \mathrm{LHS}&=1/i=-i, \mathrm{RHS}=-i \\ \textstyle\sqrt{1/-1} &= 1/\hat\imath & \mathrm{LHS}&=\sqrt{-1}=i, \mathrm{RHS}=-i \end{align*}$$

Luego podemos ver que el error debe estar asumiendo $\textstyle\sqrt{1}/\sqrt{-1}=\sqrt{1/-1}$.

Answer 3

La regla de $\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$ mantiene sólo para $a,b\ge 0$.

Answer 4

Siempre hay un peligro con el trato con las raíces de cualquier tipo, que uno podría no estar lidiando con el mismo número todo el tiempo. Esto viene en parte de ambos $1^2=1$$(-1)^2=1$.

La escritura de estos en una ecuación como $\sqrt{1}=1$$\sqrt{1}=-1$, da un resultado que $a=-a$. Tal puede ser cierto en algunos mantisa-espacio (mantisa aquí es una multiplicación en forma de módulo: es decir, sólo como $a + bn = a \pmod{n}$,$a * n^b \operatorname{man} n$).

Tomando raíces cuadradas, una es tratar en forma efectiva en un potencial mantisa-espacio donde $+x=-x$, y algunos sutilmente se necesita para distingiush los dos. Esta es una de las razones por las que $\sqrt{x} \ge 0$ es tomado como el convenio.

El real error en los cálculos, es que $\sqrt{x}$ es dejar que varían según el signo.

Answer 5

Creo que ha habido una serie de métodos utilizados para encontrar $\frac{1}{i}$. Aquí pueden ser algunos a considerar:

Los poderes positivos de $i$ se ejecutan en un ciclo de $(i, -1, -i, 1)$. Proyectando esta de nuevo en cero y los exponentes negativos, $i^0 = 1$ $i^{-1}$ debe $-i$.

Si nos "racionalizar" $\frac{1}{i}$ multiplicando ambos lados por $i$,$\frac{1}{i} * \frac{i}{i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i$.