Mostrar que $\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0$ y que $\sqrt[n]{n!}$ diverge.

Question

Deje $a\in\mathbb{R}$. Mostrar que $$ \lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0. $$ A continuación, utilice este resultado para demostrar que $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ con $$ b_n:=\sqrt[n]{n!} $$ diverge.

Bueno, creo que no es demasiado malo.

Escribo $$ \frac{a^n}{n!}=\frac{a}{n}\cdot\frac{a}{n-1}\cdot\frac{a}{n-2}\cdot\ldots\cdot un $$ y debido a que todos los factores que converge a 0 resp. a $a$ (es decir, los límites existen) puedo escribir $$ \lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=\lim_{n\to\infty}\frac{a}{n}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{a}{n-1}\cdot\ldots\cdot\lim_{n\to\infty}a=0\cdot 0\cdot\ldots\cdot a=0. $$

Deje $a_n:=\frac{a^n}{n!}$ $a=1$ $$ b_n=\frac{1}{\sqrt[n]{a_n}}. $$ Porque (como se muestra arriba) $a_n\to 0$ se sigue que $\sqrt[n]{a_n}\to 0$, debido a que $$ \lvert\sqrt[n]{a_n}\rvert\leqslant\lvert a_n\rvert\0\implica\lvert\sqrt[n]{a_n}\rvert\a 0 $$

y, por tanto,$b_n\to\infty$.

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Creo que es todo. Estoy en lo cierto?

Answer 1

Para el primero:

$\lim_{n \to \infty} |\frac{a^n}{n!}|\leq \lim_{n \to \infty} \frac{m^n}{n!}\leq\lim_{n \to \infty} \frac{m^n}{(n-m)!}=\lim_{n \to \infty} \frac{m\cdot m\cdot m\cdot m...}{ (m+1)\cdot(m+2)\cdot (m+3)\cdot (m+4)...}=0$ (números factores)

Donde m es (en términos de valor absoluto) un número natural mayor que una.

Para el segundo:

Es fácil entonces ver

$n!\geq(\frac{n}{2})^\frac{n}{2}$ (¿Cómo?)

Ahora obtienes:

$\sqrt[n]{n!}\geq \sqrt[n]{\frac{n}{2}^\frac{n}{2}}=\sqrt(\frac{n}{2}) \rightarrow \infty$

Answer 2

La prueba no es correcta, porque $$|\sqrt[n]{a_n}| \leq \lvert a_n\rvert$$ is not true for $ | a_n | < 1$ (in fact holds $\lvert\sqrt[n]{a_n}\rvert > \lvert a_n\rvert$).

Te doy un toque. Supongamos por contradicción que $b_n$ no es divergente (por lo tanto está limitado) y llamado $a = \sup_{n\geq1} \sqrt[n]{n!}$. Entonces para cada $n \geq 1$ usted tiene $a^n \geq n!$.

Pero ahora, ¿qué se puede decir de la secuencia $a_n=\frac{a^n}{n!}$? ¿Puede ser convergente a $0$?

Answer 3

Para el primer límite, sugerencia: Deje $a$ ser cualquier número real. Como $n$ tiende a $+\infty,$ $$ \left|\dfrac{\dfrac{a^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{a^n}{n!}}\right|=\left|\dfrac{a}{n+1}\right| < \frac{1}2, \quad n\geq2|a|, $$ y, por un elemental recursividad, $$ \left|\dfrac{a^n}{n!}\right|< \frac{C(a)}{2^n}, $$ as $n$ is great, where $C(a)$ is a constant in the variable $$ n, y su secuencia, a continuación, tiende a cero.

Para el segundo límite, usted puede solicitar integral de Riemman, como $n$ tiende a $+\infty,$ $$\large \sqrt[n]{n!}=\displaystyle e^{\frac1n \sum_1^n\ln k}=e^{\frac1n \sum_1^n\ln (k/n)+\ln n}\sim n \: e^{\:\Large \int_0^1\ln t \:{\rm d}t } $$ dando una secuencia divergente.

Answer 4

Utilizando la fórmula de Stirling, ambos son triviales.

Answer 5

Si tenemos que concluir la segunda parte de (prueba de) la primera parte, aquí es una manera.

Tenga en cuenta que $a_{n+1}=\frac{a}{n+1}a_n$. Así todos $\epsilon >0$ que tenemos todos grande ${a\over n+1}<\epsilon$ $n$. Por lo que existe $k\in\mathbb{N}$ tal que $0\leq |a_{n}|\leq \epsilon^{n-k}|a_k|$ % todos $n\geq k$. Fijación de $\epsilon<1$, ya que es fijo $k$ concluimos por el teorema del apretón que $a_n\rightarrow 0$.

$a\neq 0$ Además tenemos $\sqrt[n]{|a_n|}={|a|\over\sqrt[n]{n!}}\leq \epsilon^{1-{k\over n}} \sqrt[n]{|a_k|}\rightarrow \epsilon $ % todos $\epsilon>0$. De esto concluimos que $\sqrt[n]{n!}\rightarrow \infty$ como se desee.