Serie de Taylor para funciones $f:R^n\rightarrow R^n$

Question

Me han dicho que podemos escribir una serie de taylor para funciones $f:R^n\rightarrow R$ pero no podemos escribir uno para $f:R^n\rightarrow R^n$. No estoy seguro por qué esto no es posible, pero creo que tiene algo que ver con el teorema del valor medio. ¿Podría alguien arrojar algo de luz sobre esto?

Answer 1

Si $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$, entonces usted puede dividir $f = (f_1, f_2, \ldots, f_n)$, y (bajo los supuestos habituales de la suavidad), cada componente puede ser ampliado en una serie de Taylor.

Answer 2

Cada $f_j:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ $f=(f_1,\ldots,f_j,\ldots,f_n)$ utilizar una notación Índice multi $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_i,\ldots,\alpha_n)$ en derivadas parciales de orden superior, normas, factoriales $!$ y coordenadas de vectores $x,v\in\mathbb{R}^n$. $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ Tenemos la serie de Taylor de $f(x+v)=$\begin{align} \bigg(\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{|\alpha|=k}\frac{1}{\alpha!}\partial^\alpha f_1(x)\cdot v^\alpha,\ldots,\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{|\alpha|=k}\frac{1}{\alpha!}\partial^\alpha f_j(x)\cdot v^\alpha,\ldots, \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{|\alpha|=k}\frac{1}{\alpha!}\partial^\alpha f_n(x)\cdot v^\alpha\bigg) \end {Alinee el}

Answer 3

La misma fórmula que se aplica a campos escalares se aplica para campos del vector.

$$f(x) = f(a) + [(x-a) \cdot \nabla] f \Big|_a + \frac{1}{2!} [(x-a) \cdot \nabla]^2 f \Big |_a + \ldots$$

$f$ puede ser escalares o vectoriales.