¿Es un polinomio irreducible de $x^4+4$?

Question

Sabemos que $p(x)=x^4-4=(x^2-2)(x^2+2)$ es reducible $\mathbb{Q}$ no tener raíces allí.

¿$q(x)=x^4+4\in \mathbb{Q}[x]$? Otra vez, sin raíces.

Answer 1

$$\begin{eqnarray}x^4+4&=&(x^2+2i)\cdot (x^2-2i)\\ &=& (x-(1-i))\cdot (x+(1-i))\cdot (x-(1+i))\cdot(x+(1+i)) \\ &=& ((x-1)+i)\cdot ((x-1)-i)\cdot((x+1)-i)\cdot((x+1)+i) \\ &=& ((x-1)^2+1)\cdot((x+1)^2+1).\end{eqnarray} $$

Reducible.

Answer 2

$x^4+4 \cdot 1^4= x^4+ 2 \cdot 2 \cdot x^2+2^2 - (2x)^2$

Que es identidad conocida llamada Sophie Germain

Answer 3

Como demostró Berci, este polinomio es efectivamente reducible sobre los racionales. Una manera de ver se trata de calcular explícitamente sus raíces: $$x^4+4=0 \leftrightarrow x^2 = \pm 2i \leftrightarrow x = \pm \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)) \vee x = \pm i\sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)) $ $ o: $$x = \pm 1 \pm i$ $ y puesto que esas raíces número complejo adecuado en $\mathbb{Z}[i]$, puede asociar $1+i$ $\overline{1+i}=1-i$ y $-1+i$ $\overline{-1+i} = -1-i$ y obtener la factorización $(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x +2)$ (si $\alpha$ es una raíz compleja correcta $p \in \mathbb{R}[x]$, $\overline{\alpha}$ es otra raíz, y divide a $(x-\alpha)(x-\overline{\alpha}) = (x^2-2Re(\alpha) + |\alpha|^2)$ $p$.

Answer 4

ps

Answer 5

Uno puede utilizar la misma versión de completando el cuadrado que demuestre que el $x+\dfrac1x \ge 2$ cuando $x>0$:

$$ x + \frac1x = \left (x-2 + \frac1x\right) + 2 = \left (\sqrt {x}-\frac {1} {\sqrt {x}} \right) ^ 2 + 2. $$

Igualmente $$ x ^ 4 + 4 = \left (x ^ 4 + 4 x ^ 2 + 4 \right) - 4 x ^ 2 = \left (x ^ 2 + 2\right) ^ 2 - (2 x) ^ 2 $$ entonces que factores como una diferencia de dos cuadrados.