Sobre derivados de la función real

Question

Deje $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ ser una función continua, $A \subset \mathbf{R}$ ser un conjunto cerrado y $x_0, y \in \mathbf{R}$. Supongamos que para cada una de las $\varepsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que

1. si $x \in A$ , $|x-x_0|< \delta$ a continuación,$\left|\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-y\right|< \varepsilon$,

2. si $x \notin A$, $|x-x_0|<\delta$ a continuación, $f'(x)$ existe y $|f'(x)-y|<\varepsilon$.

Cómo demostrar que no existe $f'(x_0)$$f'(x_0)=y$.

Gracias.

P. S. Mi pregunta se refiere a la Lema 1 en la página 66 de la ponencia:

H. Whitney, Analítica extensiones de funciones diferenciables, Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 36 (1934), 63-89.

(En este trabajo no hay ninguna prueba del Lema 1.)

Answer 1

Pick $\epsilon>0$ y elija $\delta>0$ que satisface 1 y 2 anteriores.

Supongamos $x_0\not\in A$. Entonces, desde el $A$ está cerrada, hay un positivo $\delta'\le\delta$, de modo que si $|x-x_0|<\delta'$, $x\not\in A$. Entonces, el Valor medio Teorema dice $$\left|\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-y\right|=\left|f'(\xi)-y\right|<\epsilon\etiqueta{1}$$ para algunos $\xi$$x$$x_0$, y por lo tanto, $\xi\not\in A$.

Supongamos $x_0\in A$$|x-x_0|<\delta$. Si $x\in A$, luego $$\left|\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-y\right|<\epsilon\etiqueta{2}$$ Si $x\not\in A$, vamos a $a$ ser el punto en $A$ más cercano a $x$, de modo que $|x-a|+|a-x_0|=|x-x_0|$; es decir, o $a=x_0$ o $a$ entre $x$$x_0$.

Si $a=x_0$, entonces no hay punto entre el $x$ $x_0$ $A$ y el Valor medio Teorema dice: $$\left|\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-y\right|=\left|f'(\xi)-y\right|<\epsilon\etiqueta{3}$$ para algunos $\xi$$x$$x_0$, y por lo tanto, $\xi\not\in A$.

Si $a$ entre $x$$x_0$, debido a que no hay un punto entre el$x$$a$$A$, $$\left|\frac{f(x)-f(a)}{x-a} y\right|=\left|f'(\xi)-y\right|<\epsilon\etiqueta{4}$$ para algunos $\xi$$x$$a$. Además, desde el $a\in A$, $$\left|\frac{f(a)-f(x_0)}{a-x_0}-y\right|<\epsilon\etiqueta{5}$$ Desde $|x-a|+|a-x_0|=|x-x_0|$, $$\begin{align} &\left|(x-x_0)\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-y\right)\right|\\ &=\left|(x-a)\left(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-y\right)+(a-x_0)\left(\frac{f(a)-f(x_0)}{a-x_0}-y\right)\right|\\ &<\epsilon|x-a|+\epsilon|a-x_0|\vphantom{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}\\ &=\epsilon|x-x_0|\vphantom{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} \end{align}$$ Por lo tanto, $$\left|\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-y\right|<\epsilon\etiqueta{6}$$ En conclusión, $(1)$, $(2)$, $(3)$, y $(6)$ cubrir todos los casos, y desde $\epsilon>0$ fue arbitrario, tenemos que $f'(x_0)=y$.