Construir una función que es continua en $[1,5]$ pero no diferenciable en $2, 3, 4$

Question

Construir una función que es continua en $[1,5]$ pero no diferenciable en $2, 3, 4$.

Esta pregunta es justo después de la definición de la diferenciación y el teorema de que si es finito derivable en $f$, entonces $c$$f$ también es continua en $c$. Por favor ayuda, mi libro no tiene la respuesta.

Answer 1

$$\ \ \ \ \mathsf{W}\ \ \ \ $$

Answer 2

$|x|$ es continua y diferenciable en todas partes, excepto en 0. Puede usted ver por qué?

A partir de esto, podemos construir las funciones que usted necesita: $|x-2| + |x-3| + |x-4|$ es continua (por qué?) y diferenciable en todas partes, excepto en 2, 3, y 4.

Answer 3

Cómo acerca de $f(x) = \max(\sin(n\pi x),0)$ o quizás $g(x) = |\sin(n\pi x)|$?

Answer 4

Recuerde que si una función no es continua en un punto, entonces su antiderivada no es diferenciable allí. Sabiendo esto, se puede construir la función deseada tomando la integral de una función que es discontinua en a $x=2,3,4$: $$f(x) = \int_1^x F(y) \,\mathrm{d}y,$$ donde $$F(x) = \begin{cases} -1 & 1\le x\le 2 \\ +1 & 2<x\le 3 \\ -1 & 3<x\le 4 \\ +1 & 4<x\le 5 \\ \end{casos}$$