Siempre he luchado para visualizar la corrección de la conmutación de la relación de los generadores del aumento en el grupo de Lorentz. Tenemos $$[K_i,K_j] = i \epsilon_{ijk} L_k$$ I fail to picture this. For definiteness' sake, let's take a point $\vec{x}$ in my coordinate system, lying in the $O_{xy}$ plane. The difference between boosting first in the $x$ and then in the $s$ direction, and boosting first in the $s$ and then in the $x$ direction ammounts simply to a rotation in the $Oxy$ plane, since $$[K_1,K_2] = iL_3$$ debo estar haciendo algo mal cuando puedo dibujar esto en un papel. Me doy cuenta de que esto tiene en el nivel infinitesimal, pero un simple dibujo debe ser capaz de darse cuenta de este principio "de primer orden" no ? Mi problema es que cuando me llaman, termino con la misma situación, independientemente de la dirección que me impulso a la primera.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esta visualización es, en mi opinión, bastante complicado, porque aumenta generalmente actúan en cuatro dimensiones (tiempo incluido!) y es difícil dibujar 4D en un pedazo de papel. Afortunadamente, para esta pregunta, usted puede conseguir alrededor de esto artística limitación.
Esto es lo que hice después de leer tu pregunta para intentar visualizar lo que está pasando. Te animo a probar a dibujar cada paso. La imagen terminé el dibujo está en la final.
Si ordenamos nuestras coordenadas en la forma estándar $(t,x,y,z)$, después aumenta con el impulso del parámetro $\beta$ $x$ $y$ instrucciones son dadas por el $$ \Lambda_x(\beta) = \left( \begin{array}{cccc} \gamma & -\gamma\beta & 0 & 0 \\ -\gamma\beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \qquad \Lambda_y(\beta)=\left( \begin{array}{cccc} \gamma & 0 & -\gamma\beta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\gamma\beta & 0 & \gamma & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) $$ Ahora podemos intentar aplicar estas transformaciones a algún punto en el $x$-$y$ plano en diferentes órdenes y dibujar los resultados. La clave de la visualización de las matemáticas que yo voy a hacer es de notar que ambos de estos estímulos no hacer nada en el $z$ coordenadas de cualquier punto en el espacio-tiempo debido a que hay un $1$ en la esquina inferior derecha de cada transformación de la matriz con ceros a la izquierda y arriba. Como resultado, podemos pasar por alto el $z$ eje y dibujar los diagramas de espacio-tiempo en el que el tiempo, el eje es vertical y la $x$-$y$ es un plano horizontal.
Por simplicidad, vamos a ver qué pasa hasta el punto de $e_x=(0,1,0,0)^t$. Aquí voy a utilizar un superíndice $t$ para transponer ya que quiero enfatizar que los puntos en el espacio-tiempo se escribirá como vectores columna. El punto de $e_x$ es simplemente las tres dimensiones del vector unitario a lo largo de la $x$-eje en el tiempo cero. ¿Qué sucede cuando aplicamos un pequeño aumento en el $y$-dirección seguida por un pequeño incremento en el $x$-de la dirección? Bueno, vamos a calcular; $$ \Lambda_x(\beta)\Lambda_y(\beta)e_x\aprox e_x+(-\beta \beta^2/2, 0, 0)^t $$ El $\approx$ símbolo significa que simplemente he caído más bajo los términos de orden en la expansión de Taylor en $\beta$$\beta = 0$. El punto es traducido hacia atrás en el tiempo y el avance en $x$. Ahora lo que sucede cuando se aplican las transformaciones en el otro orden y, a continuación, expanda el resultado? $$ \Lambda_y(\beta)\Lambda_x(\beta)e_x\aprox e_x+(-\beta \beta^2/2, \beta^2, 0)^t $$ Lo mismo sucede con el tiempo y el $x$ componentes como en el primer orden, pero ahora el punto es adelantar en el $y$ un poco. Cuando restamos estos dos, por lo tanto, obtener $$ \Big(\Lambda_x(\beta)\Lambda_y(\beta)-\Lambda_y(\beta)\Lambda_x(\beta)\Big)e_x \aprox (0,0,-\beta^2,0)^t $$ ¿Esta de acuerdo con lo que una rotación en $z$ lo haría? Así una rotación en $z$ por un ángulo de $\phi$ tiene este aspecto: $$ R_z(\phi)=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \phi & \sin \phi & 0 \\ 0 & -\sin \phi & \cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) $$ Si Taylor ampliar esta sobre $\phi=0$, obtendrá $$ R_z(\phi) \aprox I + \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \phi & 0 \\ 0 & -\phi & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) $$ Así que una rotación en $z$ actúa en el punto de $e_x$ dar $$ R_z(\phi) e_x \aprox e_x + (0,0,-\phi,0)^t $$ En otras palabras, le resta un poco de la $y$-coordinar. Pero esta resta es precisamente lo que ocurrió en el caso de los dos aumenta actuando en diferentes órdenes, una vez que identificamos $\phi =\beta^2$!
Sé que todo esto era más bien matemático, pero no puedo ver una manera de llegar a hacer algo de matemáticas, así como para ser capaz de dibujar lo que le sucede a un punto que usted elija bajo un pequeño impulso o de rotación.
