Para cualquier $n\in N$, tal $f_{1}=1$ y tal
$$f_{2n+1}=f_{2n}=f_{2n-1}+f_{n},$$
demostrar que %#% $ #%
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Definir $\left(~\mbox{con}\quad z \in {\mathbb C} \quad\mbox{y}\quad \left\vert z \right\vert < 1~\right)$ $$ \Psi\left(z\right) \equiv \sum_{n = 0}^{\infty}z^{n}\,{\rm f}_{n + 1} = \sum_{\sigma = \mp}\Psi_{\pm}\left(z\right) \quad\mbox{donde}\quad\left\vert% \begin{array}{rcl} \Psi_{-}\left(z\right) & \equiv & \sum_{n = 0}^{\infty}z^{2n + 1}\,{\rm f}_{2n + 2} \\ \Psi_{+}\left(z\right) & \equiv & \sum_{n = 0}^{\infty}z^{2n}\,{\rm f}_{2n + 1} \\ {\rm f}_{n} & = & \left. {1 \over \left(n - 1\right)!}\, {{\rm d}^{n - 1}\,\Psi\left(z\right) \over {\rm d}z^{n - 1}} \right\vert_{z\ =\ 0}\,, \quad n > 1 \end{array}\right. $$
\begin{eqnarray} &&\\[5mm] \Psi_{-}\left(z\right) & = & \sum_{n = 0}^{\infty}z^{2n + 1}\,{\rm f}_{2n + 2} = \sum_{n = 0}^{\infty}z^{2n + 1}\left\lbrack{\rm f}_{2n + 1} + {\rm f}_{n + 1}\right\rbrack = z\left\lbrack\Psi_{+}\left(z\right) + \Psi\left(z^{2}\right)\right\rbrack \\ \Psi_{+}\left(z\right) & = & {\rm f}_{1} + \sum_{n = 0}^{\infty}z^{2n + 2}\,{\rm f}_{2n + 3} = 1 + \sum_{n = 0}^{\infty}z^{2n + 2}\,{\rm f}_{2n + 2} = 1 + z\,\Psi_{-}\left(z\right) \end{eqnarray}
$$ \Psi\left(z\right) = z\,\Psi\left(z\right) + 1 + z\,\Psi\left(z^{2}\right) \quad\Longrightarrow\quad \left(1 - z\right)\,\Psi\left(z\right) = 1 + z\,\Psi\left(z^{2}\right) $$
$$ \Psi^{\left(n\right)}\left(0\right) = n\,\Psi^{\left(n - 1\right)}\left(0\right) + \a la izquierda.n\,\Psi^{\left(n - 1\right)}\left(z^{2}\right)\right\vert_{z\ =\ 0}\,, \qquad n \geq 1 $$
$$ \begin{array}{rclrcl} \Psi\left(z^{2}\right) & = & \sum_{n = 0}^{\infty}z^{2n}\,{\rm f}_{n + 1} ,\quad& \Psi\left(0\right) & = & {\rm f}_{1} \\ \Psi''\left(z^{2}\right) & = & 2\sum_{n = 1}^{\infty}n\left(2n - 1\right)z^{2n - 2}\,{\rm f}_{n + 1} ,\quad& \Psi\left(0\right) & = & 2{\rm f}_{2} \\ \Psi^{\left(\tt IV\right)}\left(z^{2}\right) & = & 2\sum_{n = 2}^{\infty}n\left(2n - 1\right)\left(2n - 2\right)\left(2n - 3\right)z^{2n - 4}\, {\rm f}_{n + 1} ,\quad& \Psi\left(0\right) & = & 16{\rm f}_{3} \\ &\vdots& & \vdots& \end{array} $$
$$ \left.\Psi^{\left(2n\right)}\left(z^{2}\right)\right\vert_{z = 0} = {\rm f}_{n + 1} $$
warl0ck
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311
\documentclass[winfonts,hyperref,a4paper]{ctexart} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{amscd} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsthm} \usepackage{graphicx} \usepackage[left=2.54 cm,derecha=2.54 cm,alto=3.17 cm,inferior=3.17 cm]{geometry} \theoremstyle{plain} \newtheorem{pro}{Proposición} \linespread{1.39} \author{} \date{} \begin{document} \zihao{5} \pagestyle{empty} \thispagestyle{empty}
\begin{pro} Let%#%#%be an strictly increasing continuous function in the interval%#%#% and %#%#%,%#%#%.If an integer-valued finite terms sequence %#%#%satisfies the conditions below (1) if %#%#%,then %#%#%;(2)the last term %#%#%.then the numbers of the sequence %#%#% is%#%#%.
\end{pro} \begin{proof} If %#%#%has only one term,then %#%#%\
If%#%#%has at least two terms, then the second to last may be any one of%#%#%. \ Thus %#%#%.
\end{prueba}
\begin{pro} %#%#%,%#%#%,%#%#%.
then
(0)%#%#% is an integer-valued finite terms sequence and the last term is %#%#%.Moreover ,%#%#%.
(1)%#%#%.
(2)If %#%#% is the generating function of %#%#%,then %#%#% is an unique solution to functional equation of%#%#%
(3)%#%#%.
(4)%#%#% is numbers of nonnegative integer solutions to %#%#%.
(5)%#%#% \end{pro}
\begin{proof}(0)Proposition 1 implies it.
(1)Notice\begin{align*} f_{2n+1}=f_{2n}&=f_{2n-1}+f_{n}=f_{2n-2}+f_{n} \\&=f_{2n-3}+f_{n-1}+f_n \\&=f_{2n-5}+f_{n-2}+f_{n-1}+f_n \\&=\cdots \\&=f_1+f_1+f_2+\cdots+f_{n-1}+f_n \\&=1+\sum_{k=1}^nf_k \end{align*}
(2)Directo de verificación.
\begin{align*} (1+f_1x+f_2x^2+\cdots)(1+x+x^2+\cdots)&=1+(1+f_1)x+(1+f_1+f_2)x^2+\cdots \\&=1+f_2x^2+f_4x^2+\cdots=1+\sum_{n=1}^{+\infty}f_{2n}x^n \\&=1+f_3x^2+f_4x^2+\cdots=1+\sum_{n=1}^{+\infty}f_{2n+1}x^n \end{align*} $g(x)$$ $[0,+\infty)$$ a continuación,$g(0)=0$$
set $g(x)0$,luego $P_{n}$$ Por lo tanto$P_{i}=x$,lo que implica $P_{i+1}\le g^{-1}(x)$ satisface $P_{n}=n$.
(3): (2)\begin{align*} f(y)&=\frac{f(y^{2^n})}{(1-y)(1-y^2)(1-y^4)\cdots(1-y^{2^{n-1}})} \\&=\lim_{n\to+\infty} \frac{f(y^{2^n})}{\Pi_{i=0}^{n-1}(1-y^{2^i})}=\Pi_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{1-y^{2^k}} \end{align*}
(4)Debido a que \begin{align*} f(y)= \Pi_{k=0}^{+\infty}\sum_{j=0}^{+\infty} y^{2^kj}=\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{\sum_{i=0}^{+\infty}2^{i-1}j_i=n}y^n \end{align*} Por lo tanto $P_{n}$ es de números de número entero no negativo soluciones a $a_n=1+\sum_{i=1}^{[g(n)]} a_i$. Obviamente $P_{n}$ es cada vez mayor.
(5)Considere la posibilidad de $a_{n}\equiv 1$,tratamos de dar una estimación del número de entero no negativo soluciones a $P_{n}$.
Nota: $[g(n)],[g(n)]-1,\cdots,1$tiene más de$a_n=1+\sum_{i=1}^{[g(n)]} a_i$ opciones ,$n\in N$tiene al la mayoría de las$f_{1}=1$opciones,......,$f_{2n+1}=f_{2n}=f_{2n-1}+f_{n}$tiene en la mayoría de las$f_n$opciones.A continuación, los números de de número entero no negativo soluciones en más de$2^{k+1}\cdot 2^k\cdot \cdots\cdot 2=2^{\frac{(k+2)(k+1)}{2}}$opciones.
Por lo tanto $n$o $\log_2 f_{2^k}\leq\frac{(k+2)(k+1)}{2}$,o $\overline{\lim}_{k\+\infty}\frac{\log_2 f_{2^k}}{k^2}\leq \frac{1}{2}$.
Del mismo modo $\underline{\lim}_{k\+\infty}\frac{\log_2 f_{2^k}}{k^2}\geq \frac{1}{2} $.
Por lo tanto $\forall n\le 1,f_(n+1)\le f_n$.
Si $f_{n}=1+\sum_{i=1}^{[\frac{n}{2}]}f_i$,$f(x)=1+f_1x+f_2x^2+\cdots$,entonces $f_n$$ deje $f(x)$,$k\a \infty$f(x^2)=(1-x)f(x)$$f(x)=\Pi_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{1-y^{2^k}}$$ \end{proof} Por cierto ,el problema que tiene estrecha relación con el número de analíticas la teoría(que se puede comprobar en el análisis de la teoría de los números manera que se muy conciso.)Por supuesto, mi amigo me diga acerca de la analítica número enfoque de teoría.Podría usted decirme la fuente original o los enlaces para el problema?Estoy interesado en él.Gracias por tu problema. \end{document}
