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Por qué algunas personas don ' t como las pruebas por contradicción

Posibles Duplicados:
Son las "pruebas por contradicción" más débil que otras pruebas?

He estado activo en este sitio para dos meses y en un par de ocasiones he notado que algunas personas juez de contradicción de las pruebas como ser menos directa(y menos elegante) de las pruebas no contradicción.

En mi primer año de universidad me dio dolores de cabeza a mi seminario de maestros y a mis compañeros, porque yo la mayoría del tiempo de la prueba por contradicción. Me parecía tan natural para argumentar por contradicción cuando yo no tenía ninguna idea de cómo proceder en resolver el problema directamente. Al menos cuando prueba algo por la contradicción, tiene un punto de inicio, un complementario de hipótesis en el que se pueden desarrollar los siguientes argumentos buscando una contradicción con la hipótesis o el trabajo anterior (teoremas, problemas, etc.).

Por lo tanto, mi pregunta es:

¿Por qué algunos consideran que la contradicción de las pruebas no son tan buenas como directo pruebas?

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Chris Benard Puntos 1430

Me resulta más difícil de leer y revisar las pruebas de contradicción por la siguiente razón: En un ordinarios de prueba, que uno está tratando de mostrar a $P \implies Q$. Cuando la leí, voy a tener en mi cabeza un par de ejemplos de cosas diferentes que obedecen a $P$, y voy a ver que cada paso en la prueba de ello está en consonancia con mis ejemplos. Esperemos que la última línea de la prueba será "$Q$", y todo el trabajo.

En una prueba por contradicción, comenzamos asumiendo $P \wedge NOT(Q)$. Si el teorema es verdadero, no hay ejemplos de cosas de las cosas que obedecen a $P$ e no $Q$, así que no puedo pensar en ninguna ejemplos.

Tenga en cuenta que este problema no se plantea en las pruebas que empezar asumiendo $NOT(Q)$ y deducir $NOT(P)$ al final, ya no puedo pensar en ejemplos de cosas que obedecen a $NOT(Q)$. He tomado a partir de estas pruebas por escrito "establecemos el contrapositivo, que $NOT(Q)$ implica $NOT(P)$" en lugar de la estándar "Esta prueba se procede a la contradicción. Asumir...". Mi esperanza es que esto va a ayudar a mis lectores a entender que todavía hay ejemplos disponibles para ellos para pensar.

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Mike Powell Puntos 2913

Cuestiones filosóficas aparte, un punto que ha sido dejado fuera: ¿qué es mejor, cuando se acredite la necesidad de no ser lo mejor cuando la escritura de la prueba.

Usted dice "a mí me parecía tan natural afirman que la contradicción...", y tienes razón: sí, es a menudo más fácil cuando se acredite a argumentar por la contradicción, pero la versión sin contradicción es a menudo más fácil de leer (y por lo tanto mejor para escribir).

Cuando usted está tratando de demostrar $P \implies Q$, si usted demostrar por contradicción, luego de llegar a asumir ambos $P$ $\lnot Q$ antes de explorar sus consecuencias, por lo que en principio nunca es peor que asumiendo $P$ solo: la prueba por contradicción nunca está de más. Pero después de que haya terminado la prueba, vale la pena ir por encima de su prueba y ver si se puede escribir directamente.

Es decir, el problema (estilísticamente hablando) no es tanto la prueba por contradicción per se, sino con la escritura de una prueba en términos de contradicción, cuando no es necesario o útil. ("Prueba innecesaria contradicción".) Ver, por ejemplo, Matemático de la Escritura (por Donald Knuth, Tracy Larrabee, y Paul M. Roberts) (énfasis añadido):

La prueba anterior en realidad comete otro pecado contra la matemática de la exposición, a saber, el uso innecesario de la prueba por contradicción. Habría sido mejor utilizar una prueba directa...

A veces (a menudo) la prueba directa, puede ser más fácil de leer y más iluminadora, y a veces puede que no. Es siempre vale la pena considerar ambas versiones y elegir la que es más fácil de leer. Te debes a tus lectores a pensar cuidadosamente acerca de cómo organizar mejor su prueba.

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Para tomar un ejemplo sencillo, se supone que quería demostrar que $9$ fue un número compuesto.

Usted sabe de Fermat poco teorema que $a^p-a$ es divisible por $p$ si $p$ es primo, pero $2^9-2 = 510$ no es divisible por $9$, lo que implica contradicción que $9$ no es primo.

Esto es totalmente lógico de la prueba que (junto con el hecho de $9$ no es una unidad) responde a la pregunta, pero yo personalmente consideraría que muestra directamente que $9 = 3 \times 3$ como ser más informativo.

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Aleksandr Levchuk Puntos 1110

Que debo explicar qué quiero decir por el debilitamiento de la lógica de ser más aplicable.

La mayoría de los matemáticos hacen creer que el mundo de las matemáticas se rige por las leyes de la lógica clásica. Pero hay mundos dentro de las matemáticas en sí que no: aunque se puede estudiar como un matemático universo mediante un fondo clásico, la legislación interna no puede ser clásica. Usted podría ser desdeñosa y decir que no la lógica clásica no se muestran en 'real' de las matemáticas, pero el hecho es que lo hacen, aunque en cierta forma disfrazada. Doy tres ejemplos:

  1. El Curry–Howard correspondencia entre el tipo de teoría de la computación y intuitionistic lógica. En esencia, si usted puede demostrar una fórmula proposicional en intuitionistic cálculo proposicional, entonces, podemos interpretar la prueba como un programa de ordenador, y la lógica de fórmulas como tipo de declaraciones para el programa; por el contrario, si usted tiene un programa de ordenador, a continuación, su tipo de declaraciones puede ser interpretado como fórmulas lógicas, y el programa en sí es una prueba.

  2. El álgebra de bloques abiertos en un espacio topológico los formularios a completar álgebra de Heyting: en particular, se trata de un modelo de intuitionistic lógica proposicional. Especialmente memorable aplicación de esto es Kuratowski del cierre del complemento problema: en efecto, si denotamos por a $\lnot A$ el interior de el complemento de un subconjunto abierto $A$ a de un espacio topológico $X$, entonces el hecho de que $\lnot \lnot \lnot A = \lnot A$ no es nada más que un caso especial de que el hecho general de que el $\lnot \lnot \lnot p$ $\lnot p$ son equivalentes en intuitionistic lógica.

  3. La generalización en el ejemplo anterior, un notable descubrimiento de el siglo de mid-20th mostró que gran parte de las matemáticas es interpretable en las categorías de poleas en un espacio topológico. Tales categorías son conocidos como toposes. La categoría de conjuntos es, por supuesto, un topos, pero es sólo uno de muchos. La teoría de anillos puede ser interpretado en cualquier lugar (o, de hecho, de cualquier categoría con un terminal de objeto limitado y productos), y que tal interpretación es conocido como un anillo de objeto. Un anillo de objeto en la categoría de conjuntos es sólo un anillo tal y como la conocemos, y un anillo de objeto en la categoría de espacios topológicos es topológico, anillo, y así sucesivamente.

    ¿Qué acerca de un anillo de objetos en una categoría de poleas? Bueno, no, un anillo objeto es la misma cosa como una gavilla por primicia de los anillos. Esto significa que podemos tratar, es decir, la estructura de la gavilla de un esquema de como esencialmente la misma cosa como una exótica anillo, y nada podemos probar acerca de los anillos también será verdadera de la gavilla, interpretado adecuadamente. Con una salvedad: las pruebas deben ser intuitionistically válido, porque la lógica interna de un topos es en general intuitionstic. (La lógica interna de las categorías más generales son aún menos agradable.) En particular, la doble negación eliminación no es válido, por lo que cualquier teoremas probados por la contradicción a ser sospechosa (pero no necesariamente falso).

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Robert Puntos 5137

Creo que algunas personas no les gusta prueba por contradicción porque, normalmente, parece conducir a las matemáticas de la nueva o nuevas ideas. Esta es una afirmación bastante general, pero creo que muchos que concurren.

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