Tengo curiosidad acerca de una característica especial de las plazas. La diferencia de cuadrados perfectos a partir de 0 son 1,3,5,7,9..., donde cada diferencia va hasta por 2. Quiero saber si hay algún patrón para los cubos perfectos o quartics. ¿Son las diferencias en un patrón de algún tipo?
Respuestas
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Zook
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Guan
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En general, la secuencia es generado por un polinomio de grado $d$, a continuación, la secuencia de las primeras diferencias es generado por un polinomio de grado $d-1$.
Para ver esto, considere la posibilidad de un polinomio $p(n)$ con los principales coeficiente de $a$. Es fácil ver que $p(n+1)$ también tiene un grado $d$ y el coeficiente inicial $a$. Si el término de grado $d-1$$p(n)$$b$, el coeficiente correspondiente en $p(n+1)$$b+ad$. Por lo tanto $q(n)=p(n+1)-p(n)$ tiene el grado $d-1$ con los principales coeficiente de $ad$.
Como un ejemplo, con los cubos ($n\geq 0$):
$p_0(n)=n^3$: genera $0,1,8,27,64,125,\ldots$
$p_1(n)=p_0(n+1)-p_0(n)=3n^2+3n+1$: genera $1,7,19,37,61,\ldots$
$p_2(n)=p_1(n+1)-p_1(n)=6n+6$: genera $6,12,18,24,\ldots$
$p_3(n)=p_2(n+1)-p_2(n)=6$: genera $6,6,6,\ldots$
Halfgaar
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Plazas:
$$1$$
$$\begin{array}{cc} \color{red}{2} & \color{red}{2} \\ 1 & \color{red}{2} \end{array}$$
$$\begin{array}{ccc} \color{blue}{3} & \color{blue}{3} & \color{blue}{3} \\ \color{red}{2} & \color{red}{2} & \color{blue}{3} \\ 1 & \color{red}{2} & \color{blue}{3} \end{array}$$
$$\begin{array}{cccc} \color{green}{4} & \color{green}{4} & \color{green}{4} & \color{green}{4} \\ \color{blue}{3} & \color{blue}{3} & \color{blue}{3} & \color{green}{4} \\ \color{red}{2} & \color{red}{2} & \color{blue}{3} & \color{green}{4} \\ 1 & \color{red}{2} & \color{blue}{3} & \color{green}{4} \end{array}$$
$$\vdots$$
Para los cubos, donde cada matriz es una parte del cubo:
$$1$$
$$\left.\begin{array}{cc} \color{red}{2} & \color{red}{2} \\ 1 & \color{red}{2} \end{de la matriz}\ \ \right| \ \ \begin{array}{cc} \color{red}{2} & \color{red}{2} \\ \color{red}{2} & \color{red}{2} \end{array}$$
$$\left.\begin{array}{ccc} \color{blue}{3} & \color{blue}{3} & \color{blue}{3} \\ \color{red}{2} & \color{red}{2} & \color{blue}{3} \\ 1 & \color{red}{2} & \color{blue}{3} \end{de la matriz}\ \ \right| \ \ \a la izquierda. \begin{array}{ccc} \color{blue}{3} & \color{blue}{3} & \color{blue}{3} \\ \color{red}{2} & \color{red}{2} & \color{blue}{3} \\ \color{red}{2} & \color{red}{2} & \color{blue}{3} \end{de la matriz}\ \ \right| \ \ \begin{array}{ccc} \color{blue}{3} & \color{blue}{3} & \color{blue}{3} \\ \color{blue}{3} & \color{blue}{3} & \color{blue}{3} \\ \color{blue}{3} & \color{blue}{3} & \color{blue}{3} \end{array}$$
$$\left.\begin{array}{cccc} \color{green}{4} & \color{green}{4} & \color{green}{4} & \color{green}{4} \\ \color{blue}{3} & \color{blue}{3} & \color{blue}{3} & \color{green}{4} \\ \color{red}{2} & \color{red}{2} & \color{blue}{3} & \color{green}{4} \\ 1 & \color{red}{2} & \color{blue}{3} & \color{green}{4} \end{de la matriz} \ \ \right| \ \ \a la izquierda. \begin{array}{cccc} \color{green}{4} & \color{green}{4} & \color{green}{4} & \color{green}{4} \\ \color{blue}{3} & \color{blue}{3} & \color{blue}{3} & \color{green}{4} \\ \color{red}{2} & \color{red}{2} & \color{blue}{3} & \color{green}{4} \\ \color{red}{2} & \color{red}{2} & \color{blue}{3} & \color{green}{4} \end{array} \ \ \right| \ \ \a la izquierda. \begin{array}{cccc} \color{green}{4} & \color{green}{4} & \color{green}{4} & \color{green}{4} \\ \color{blue}{3} & \color{blue}{3} & \color{blue}{3} & \color{green}{4} \\ \color{blue}{3} & \color{blue}{3} & \color{blue}{3} & \color{green}{4} \\ \color{blue}{3} & \color{blue}{3} & \color{blue}{3} & \color{green}{4} \end{array} \ \ \right| \ \ \begin{array}{cccc} \color{green}{4} & \color{green}{4} & \color{green}{4} & \color{green}{4} \\ \color{green}{4} & \color{green}{4} & \color{green}{4} & \color{green}{4} \\ \color{green}{4} & \color{green}{4} & \color{green}{4} & \color{green}{4} \\ \color{green}{4} & \color{green}{4} & \color{green}{4} & \color{green}{4} \end{array} $$
$$\vdots$$
Contar el número de elementos de cada color.
Pete Becker
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131
En general, para un enésimo orden de polinomio, si se calcula f(i) para espaciados igualmente los valores de i, a continuación, tomar la diferencia entre los resultados, y tomar la diferencia entre esas diferencias, y las diferencias entre esas diferencias, y así sucesivamente, n veces, se obtendrá un valor constante.
Así que para un polinomio de 2º orden, tales como f(x) = x^2, las diferencias de segundo orden son todos de la misma; en este caso, 2, y las diferencias de primer orden de f(0), f(1), f(2), ... son de 1, 3, 5, 7, ...
Para un polinomio de 3er orden, tales como f(x) = x^3, la tercera diferencias de orden son todos de la misma; en este caso, 6; las diferencias de segundo orden son 12, 18, 24, ... y las diferencias de primer orden son 7, 19, 37, 61... No tan bonitos un patrón.
Esta es la base para el método de diferencias, que fue utilizado para calcular tablas (como logaritmos) en los días antes de las computadoras; con un seleccionados adecuadamente expansión de Taylor, casi cualquier cosa puede ser calculada con el método de las diferencias. Tiene dos grandes ventajas sobre la expansión de una serie directamente: no requiere de la multiplicación, y cada resultado depende de todos los anteriores, por lo que encontrar los errores se puede hacer mediante la comprobación in situ en lugar de la comprobación de que cada resultado.
De vuelta en la primera mitad del siglo 19, Charles Babbage diseñó una calculadora que utiliza 7 de diferencias de orden para calcular tablas. No fue construido en su vida, pero hace diez o quince años el Science Museum de Londres construido uno. Más recientemente se construyó otro, que se puede ver en funcionamiento en el Computer History Museum de Mountain View, CA.
