Teorema de Gauss-Bonnet-Chern

Question

Buenos días/día/tarde/noche,

Me presentaron el teorema generalizado de Gauss-Bonnet-Chern sobre las hipersuperficies en el espacio euclidiano;

Para un colector cerrado, incluso dimensional $M$ con dimensión $n$ incrustado en $ \mathbb {R}^{n+1}$ tenemos $$ \int_M K \mathbb dV = \text {Volume } \mathbb {S}^n \cdot\frac { \chi (M)}{2}.$$

Me pregunto,

1. ¿Cómo se ve este teorema para los colectores compactos con límite?
2. ¿Se puede generalizar este teorema para sostener los colectores dimensionales cerrados del impar? (Asumo que habrá un problema aquí ya que la característica de Euler se desvanece.)

Ambas preguntas son para hipersuperficies en el espacio euclidiano.

Cualquier referencia será muy apreciada.

Answer 1

Deje que $ \nu : M \to \mathbb S^n$ ser un campo vectorial unitario normal a lo largo de $M$ entonces el derivado $d \nu $ de $ \nu $ mapas $T_pM$ a $T_{ \nu (p)}S = \nu (p)^ \perp = T_pM$ y la curvatura Gaussiana está dada por $$K_p = \det (d \nu (p): T_pM \to T_pM)$$

Ahora el volumen se forma en $M$ está dada por $ \mathrm {d}vol_M = \iota ( \nu ) \mathrm {d}vol_{ \mathbb R^{n+1}}$ es decir, para los vectores tangentes $ \xi_1 , \dots , \xi_n \in T_pM$ tenemos $$ \mathrm {d}vol_M(p)( \xi_1 , \dots , \xi_n ) = \mathrm {d}vol_{ \mathbb R^{n+1}}(p)( \nu (p), \xi_1 , \dots , \xi_n ) = \det ( \nu (p), \xi_1 , \dots , \xi_n )$$

Ahora considera la retirada $ \nu ^ \ast \mathrm {d}vol_{S^n}$ de $ \mathrm {d}vol_{S^n}$ a $M$ :

\begin {eqnarray*} \nu ^ \ast \mathrm {d}vol_{S^n}(p)( \xi_1 , \dots , \xi_n ) &=& \mathrm {d}vol_{S^n} \left ( \nu (p) \right ) \left (d \nu (p) \xi_1 , \dots , d \nu (p) \xi_n\right ) \\ &=& \det\left ( \nu (p), d \nu (p) \xi_1 , \dots , d \nu (p) \xi_n\right ) \\ &=& K_p \cdot \det\left ( \nu (p), \xi_1 , \dots , \xi_n\right ) \\ &=& K_p \; \mathrm {d}vol_M \end {eqnarray*}

Por lo tanto $$ \int_M K \; \mathrm {d}vol_M = \int_M \nu ^ \ast \mathrm {d}vol_{S^n} = \deg ( \nu ) \int_ {S^n} \, \mathrm {d}vol_{S^n} = \deg ( \nu ) \cdot \text {Volume }S^n$$

Para incluso $n$ Tenemos $ \deg ( \nu ) = \frac { \chi (M)}2$ así que supongo que se podría considerar que esto es una generalización a los colectores dimensionales del Imperio.

Answer 2

El teorema de Gauss Bonnet Chern es un caso especial del teorema del índice de Atiyah-Singer, aplicado para calcular el índice de $d + d^*$ en formas diferenciales, consideradas como la cartografía de formas de grado par a formas de grado impar, que es exactamente la característica de Euler.

Para un colector cerrado general (orientado), esto se reduce a $$ \chi (M) = \int_M \mathrm {Eul}(TM),$$ es decir, la característica de Euler es la integral sobre la clase de Euler del haz tangente del múltiple, que puede ser computada localmente en términos de curvatura. En dos dimensiones, la clase Euler es sólo un múltiplo de la curvatura de Gauss por la forma del volumen.

Esto se aplica también a los colectores impar-dimensionales (y simplemente afirma que el género Euler es cero), y la orientabilidad puede ser discutida ya sea yendo a la doble cubierta orientada de $M$ o al notar que el integrando sigue siendo una densidad de volumen bien definida en $M$ aunque no es una forma diferencial adecuada.

En el caso de la frontera, la fórmula es similar, pero implica otro término de curvatura, que se integra sobre la frontera de $M$ . Ver aquí Thm. 1 por ejemplo. En el caso bidimensional (es decir, el límite unidimensional), este integrando es la curvatura geodésica del límite.