Pregunta sobre la definición de espacios de Sobolev

Question

Estoy tratando de comprender la siguiente definición:

que también pueden ser encontrados aquí en la página 136.

Pregunta 1: Cierre con respecto a qué norma? No es dada en la definición.

Pregunta 2: ¿tengo este derecho: puedo ver $C^\infty$ como un subespacio denso de $H^k$ a través del mapa (incrustación) $f \mapsto (D^\alpha f)_\alpha$ donde la tupla $f$ se asigna a consta de todos los productos derivados $D^\alpha f$ tal que $|\alpha| \leq k$. Entonces esto es genial, porque si tenemos esto se puede extender a cualquier operador lineal $T: C^\infty \to C^n$ continuamente a todos los de $H^k$, de modo que cualquier cosa que podamos hacer para suavizar las funciones también podemos hacer para funciones de Sobolev. Es decir, incluso si las funciones no tienen un fuerte $\alpha$-ésima derivada podemos tratarlos como si lo hicieron.

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

1. Podemos dotar a $V$ con la norma $$\lVert (v_j)_{1\leq j\leq K(k)}\rVert_V:=\sqrt{\sum_{j=1}^{K(k)}\lVert v_j\rVert_{L^2(\mathbb T^d)}^2}$ $ (es una norma habitual en productos de $L^2$ espacios).

2. Sí, por definición es densa en su cierre $C^{\infty}(\mathbb T^d)$. Cuando dices "cualquier cosa que podemos hacer con la función suave, podemos hacerlo para funciones de Sobolev", cuidado. La verdadera propiedad para funciones lisas tiene que preservarse tomando el límite en $\lVert\cdot\rVert_V$.