¿Qué es un buen argumento que muestra el volumen de la bola unitaria en $\mathbb R^n$ ¿se acerca a 0?

Question

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La semana pasada, di a mi clase de cálculo 1 la tarea de calcular el $n$ -volumen de la $n$ -Bola. Habían terminado de hablar sobre cómo encontrar el volumen integrando el área de las secciones transversales. Les pedí que calcularan una fórmula para $4$ y $5$ y tomar el límite de la fórmula general para obtener 0.

Mañana me gustaría darles una idea más geométrica de por qué el volumen llega a cero. ¿Alguien tiene alguna idea? :)

Comm wiki en caso de que la gente quiera añadir/modificar esto un poco.

Answer 1

La razón última es, por supuesto, que la coordenada típica de un punto en la bola unitaria es de tamaño $\frac{1}{\sqrt{n}}\ll 1$ . Esto se puede convertir en un simple argumento geométrico (como sugiere fedja) utilizando el hecho de que un $n$ -El conjunto de elementos tiene $2^n$ subconjuntos:

Al menos $n/2$ de las coordenadas de un punto en la bola unitaria son como máximo $\sqrt{\frac{2}{n}}$ en valor absoluto, y el resto son como máximo $1$ en valor absoluto. Por lo tanto, la bola unitaria puede ser cubierta por a lo sumo $2^n$ ladrillos (paralelepípedos en ángulo recto) de volumen $$\left(2\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^{n/2},$$ cada uno correspondiente a un subconjunto para las coordenadas pequeñas. Por lo tanto, el volumen de la bola unitaria es como máximo $$2^n \cdot \left(2\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^{n/2} = \left(\frac{128}{n}\right)^{n/4}\rightarrow0.$$ De hecho, el argumento muestra que el volumen de la bola unitaria disminuye más rápido que cualquier exponencial, por lo que el volumen de la bola de cualquier radio fijo también va a $0$ .

Answer 2

Una variación de algunos de los argumentos anteriores que permite intuir algo sin hacer ningún cálculo.

Considere $B_n$ la pelota en $R^n$ y $C_n$ el cubo $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]^n$ . Hacemos las siguientes observaciones.

1. $C_n$ tiene volumen $1$ .

2. Un punto típico en $C_n$ tendrá aproximadamente la mitad de sus coordenadas más grandes que $\frac{1}{4}$ en valor absoluto, por lo que estará fuera de $B_n$ . En otras palabras, casi nada del volumen de $C_n$ está contenida en $B_n$ .

3. Un punto típico en $B_n$ no tendrá coordenadas mayores que $\frac{1}{2}$ ya que la suma de los cuadrados de las coordenadas es $1$ y esta suma tiene que ser dividida entre $n$ coordenadas. (Esta es una versión débil de la concentración de la medida mencionada por Gil Kalai, y puede ser intuitivamente aceptable).

Observando esto, vemos que al pasar de $C_n$ a $B_n$ comenzamos con un volumen de $1$ , tirar casi todo, y no añadir casi nada de nuevo.

Answer 3

Una prueba sin cálculos de que el volumen $V_n$ de la unidad $n$ -esfera va a 0 más rápido que cualquier exponencial. Equivalentemente, el volumen $r^nV_n$ de la esfera de radio $r$ va a 0 para cada $r$ . Se inspira en las respuestas intuitivas sobre la concentración de la medida.

Reclamación. Para cualquier $0 < h < 1$ , $$V_n \le 2h V_{n-1} + (1-h^2)^{n/2} V_n.$$

Prueba. Retire una losa del centro de la $n$ -bola con espesor $2h$ y juntar las rebanadas restantes para hacer una forma de lente. El radio del ecuador de esta lente es $\sqrt{1-h^2}$ y claramente encaja dentro de un $n$ -bola de ese radio.

Prueba del resultado principal. Reordenar la demanda como una relación de volumen entre dimensiones adyacentes: $$V_n \le \frac{2h}{1-(1-h^2)^{n/2}} V_{n-1}.$$ Por cada $h$ el factor de la derecha se acerca finalmente a $2h$ , qed. En particular, si tomamos $h = 1/3$ entonces para el momento en que $n \ge 19$ El volumen se ha invertido y está disminuyendo.

Answer 4

Hay un argumento sencillo comparando con la bola unitaria de $\ell_1^n$ .

Dejemos que $K$ sea la bola unitaria de $\ell_1^n$ es decir, el conjunto de puntos cuya suma de coordenadas (en valor absoluto) está limitada por $1$ . Entonces $K$ es la unión disjunta de $2^n$ símiles (uno por octante), y cada símil tiene un volumen $1/n!$ .

Ahora la bola unitaria euclidiana está contenida en $\sqrt{n}K$ por lo que su volumen es como máximo $n^{n/2}2^n/n!$ . Este tiende a $0$ y se comporta como $(c/\sqrt{n})^n$ para alguna constante $c$ .

El valor es nítido hasta el valor de $c$ como muestra el argumento dual: la bola unitaria contiene el cubo $[-1/\sqrt{n},1/\sqrt{n}]^n$ .

Answer 5

He llegado un poco tarde a esta fiesta en particular, pero aquí hay otro argumento. Este incluye la mayor parte de la esfera en un cono adecuado.

Elija un pequeño número positivo x, que se optimizará más tarde. Entonces el volumen de la parte de la esfera con $0\leq x_n\leq x$ es como máximo $2^n x$ (siendo el volumen del cubo $2^n$ ).

Consideremos ahora el plano $x_n=x$ . Esto interseca la esfera en una subesfera de (n-1) dimensiones. Sea C el cono más pequeño que contiene todo lo que hay en la esfera por encima de este plano. Un simple argumento usando triángulos similares muestra que la altura de este cono es como máximo 1/x. Por tanto, su volumen es como máximo $2^{n-1}/nx$ .

Duplicando todo esto para obtener las dos mitades de la esfera, obtenemos un vínculo superior de $2^n(2x+1/nx)$ y tomando $x=n^{-1/2}$ obtenemos un límite superior para la relación de $3n^{-1/2}$ .

Por supuesto, este es un límite débil, pero estaba tratando de hacer el argumento lo más simple posible. (Es más sencillo en mi cabeza de lo que he conseguido hacer por escrito).

Pido disculpas si esto duplica el argumento de alguien más - lo he comprobado, pero podría haber pasado algo por alto.