Soluciones para el producto escalar de vectores

Question

Tengo algunas preguntas acerca de la singularidad de las matrices cuando el post - y pre-multiplica con vectores (producto interior).

Digamos que tenemos dos vectores $\vec{a}$$\vec{b}$, cuyo producto interior es un escalar, conocido satisfacer la siguiente ecuación con matriz $\left[C\right]$:

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a}^T \vec{b} = \vec{a}^T \left[C\right] \vec{b} $$

En este caso, es $\left[C\right]$ garantizado para ser la matriz identidad? Puede ser otra cosa? Por qué?

A lo largo de las mismas líneas, es posible que "eliminar" vectores a partir de una ecuación? Por ejemplo, si también tenemos una matriz de $\left[D\right]$ que satisface la ecuación:

$$ \left[C\right] \vec{b} = \left[D\right] \vec{b} $$

Simplemente podemos post-multiplicar cada lado por $\vec{b}^{-1}$ obtener $\left[C\right]$ = $\left[D\right]$? Es válido bajo cualquier conjunto de condiciones?

Gracias

Answer 1

Para cualquier dos vectores específicos , no $C$ no tiene que ser la matriz identidad. Por ejemplo si uno de los vectores es $0$ $C$ puede ser cualquier cosa.

La única manera de hablar de $b^{-1}$ es si $b$ es unidimensional y no $0$.

Answer 2

Primera pregunta, vamos a $\{v_i\}$ ser una base, a continuación,$\vec{a}=\sum_i a_i v_i$$\vec{b}=\sum_i b_i v_i$.

Deje $C_{ij}=v_i\cdot v_j$, esto es, por ejemplo, $\delta_{ij}$ si la base es ortonormales, pero no estamos suponiendo que.

Entonces por bilinearity del producto escalar:

$\vec{a}\cdot \vec{b}=\sum_i\sum_j a_ib_j v_i\cdot v_j=\sum_i\sum_j a_ib_j C_{ij}$.

El $C_{ij}$ es simplemente una colección de números. $C_{ij}$ tiene algunas restricciones, como todas las entradas no puede ser cero, $C_{ii}>0$ si el producto escalar es un producto interior, y así sucesivamente.

Para la segunda pregunta, considera $\vec{b}=(1,0)^T$, $D$ la matriz cero y $C=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$,

entonces:

$$C\vec{b}=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}=D\vec{b}$$