Explicación Conjunto de Borel

Question

Me estoy volviendo totalmente loco con el conjunto Borel, uso este concepto desde hace quizás dos años, pero todavía no sé lo que es realmente. Agradecería mucho que alguien me explicara por fin qué es un conjunto de Borel. Estas son mis preguntas:

Consideremos un conjunto medible $(X,\mathscr M,\mu)$ donde $\mathcal T$ la topología de $X$ .

1) El conjunto de Borel es tal que $\mathscr B\subset \mathscr M$ y es el más pequeño $\sigma -$ álgebra generada por todos los elementos de $\mathcal T$ . ¿Qué significa esto? Estoy de acuerdo en que todo elemento de $\mathcal T$ están en $\mathscr B$ y también todos los elementos de $$\{Y\mid \exists U\in\mathcal T: Y=X\backslash U\}$$ por definición de un $\sigma-$ álgebra, pero sé que hay muchos otros conjuntos, por ejemplo, tomemos el conjunto medible $(\mathbb R,\mathscr M,m)$ donde $m$ es la medida de Lebesgue y $\mathbb R$ proporcionar con su topología habitual. Por qué $[1,2[$ está en el conjunto de Borel ?

2) Una consecuencia de la primera pregunta, ¿cómo demostrar en general que un conjunto está en el conjunto de Borel (exceptuando si es un conjunto abierto o cerrado, es claramente obvio)?

3) ¿Cuál es el lado fantástico de este conjunto? Todo el mundo habla del conjunto Borel como algo magnífico, ¿dónde está el genio?

4) ¿El conjunto de Borel de $(X,\mathscr M,\mu)$ dependen de $\mu$ ? ¿O sólo de la medida de Lebesgue? ¿Y un conjunto medible de Lebesgue es siempre $\mu-$ ¿se puede medir?

5) Por cierto, ¿por qué un $\sigma -$ álgebra se llama $\sigma -$ ¿Álgebra? ¿Qué es el $\sigma $ ¿quieres decir?

Espero que mis preguntas sean claras.

Probablemente completaré este post en el futuro, y cuando tenga más respuestas.

Answer 1

Veamos esto de una manera más intuitiva:

Una colección de conjuntos $\{E_k\}$ forma un álgebra si la colección es cerrada bajo complementos y uniones finitas. La colección de conjuntos forma un $\sigma-$ álgebra si la colección es cerrada bajo complementos y uniones contables.

A Conjunto de Borel es cualquier conjunto de un espacio topológico que puede formarse a partir de conjuntos abiertos (o, equivalentemente, de conjuntos cerrados) mediante las operaciones de unión contable, intersección contable y complemento relativo. Esto incluye cualquier conjunto abierto, cualquier intersección contable de conjuntos abiertos (conocida como $G_\delta$ establece ), cualquier conjunto cerrado, cualquier unión contable de conjuntos cerrados (también conocida como $F_\sigma$ establece ), $G_{\delta\sigma}$ conjuntos, $F_{\sigma\delta}$ juegos, etc...

Ahora el conjunto $[1,2[$ es un conjunto de Borel porque $$ [1,2[=\bigcup_{k=1}^\infty \left[1,2-\frac{1}{k}\right] $$ que hace que $[1,2[$ a $F_\sigma$ y, por tanto, un conjunto de Borel. En general, si un conjunto no es ni abierto ni cerrado, sino de Borel, debería poder crearse un $F_\sigma$ conjunto o un $G_\delta$ exactamente igual al conjunto en cuestión, como hice anteriormente.

Dejemos que $X$ sea un conjunto y que $\mathcal{P}(X)$ sea el conjunto de potencias de $X$ , entonces la colección $\mathcal{B}\subseteq\mathcal{P}(X)$ que consiste en todos los conjuntos de Borel de $\mathcal{P}(X)$ forma un $\sigma-$ álgebra de conjuntos y es el más pequeño posible colección que pueda hacerlo colección que forma un $\sigma-$ y contiene todos los conjuntos abiertos de $\mathcal{P}(X)$ . En otras palabras, todo lo posible $\require{enclose} \enclose{horizontalstrike}{\sigma-}$ álgebra que se puede formar a partir de $\enclose{horizontalstrike}{\mathcal{P}(X)}$ debe contener $\enclose{horizontalstrike}{\mathcal{B}}$ la intersección de todos los $\sigma-$ Las álgebras que contienen los conjuntos abiertos son las de Borel $\sigma-$ de álgebra. Esto es lo que hace que los conjuntos de Borel sean tan especiales son el esqueleto de cualquier $\enclose{horizontalstrike}{\sigma-}$ álgebra, a falta de una frase mejor. especialmente desde el punto de vista topológico.

Si te fijas en la discusión anterior, en ninguna parte interviene el concepto de medida. En el caso de la medida de Lebesgue sobre $\mathbb{R}$ resulta que la colección de conjuntos medibles forma un $\sigma-$ álgebra. Pero esto es simplemente una consecuencia de restringir la medida externa a la colección de conjuntos para los que se mantiene la aditividad contable.

Ahora bien, como la colección de conjuntos medibles forma un $\sigma-$ entonces debe ser que todo conjunto de Borel en $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ también es medible. Y aunque no es inmediatamente obvio, existen conjuntos no Borel que son medibles. Por tanto, no todos los conjuntos medibles son Borel. Esta es una distinción importante.

Answer 2

Para añadir algunos comentarios informales a lo que ya se mencionó aquí, la palabra "álgebra" es algo desafortunada, ya que la estructura algebraica (en el sentido de álgebra abstracta) proviene de tratar la diferencia simétrica de dos conjuntos miembros como adición, mientras que la intersección cumple el papel de la multiplicación; sin embargo, nos preocupamos principalmente por las uniones en lugar de la diferencia simétrica (no todo el tiempo - ¡compruebe el Primer Principio de Littlewood!). En este sentido, un álgebra de conjuntos es un álgebra booleana formal. Esto se debe a que la intersección (o "multiplicación") de cualquier conjunto consigo mismo siempre devuelve el conjunto con el que se empieza, es decir $x*x=x$ para todos $x$ en la colección.

Los miembros de un álgebra deben incluir las uniones finitas y los complementos de los miembros que sabes que están ahí, así como el propio conjunto padre. La palabra "sigma" significa que las uniones contables infinitas de miembros también deben ser miembros. Las álgebras de conjuntos no especificadas como álgebras "sigma" pueden excluir las uniones contables sin dejar de ser álgebras. Piense en subconjuntos finitos de los números naturales y sus respectivos complementos - puede tomar uniones finitas todo el día y sus resultados serán miembros de esta colección, pero nunca obtendrá el conjunto de todos los números naturales Impares, por lo que el conjunto de los números naturales Impares no es un miembro de esta álgebra; pero, el conjunto de todos los números naturales Impares ES una unión contable de elementos en este conjunto.

Como los complementos están incluidos en las álgebras, la intersección de dos miembros cualesquiera de un álgebra debe estar en el álgebra, ya que $A\cap B=\left(A^c \cup B^c\right)^c$ . Asimismo, las intersecciones contables de los miembros de las álgebras sigma son siempre a su vez miembros del álgebra sigma (en otras palabras, una álgebra sigma es "cerrada" bajo intersección contable).

Con el álgebra sigma de Borel, la definición "el álgebra sigma más pequeña que contiene los intervalos abiertos" (o conjuntos abiertos; recordemos que todo conjunto abierto es una unión contable de intervalos abiertos, sin embargo) es algo difícil de entender a primera vista, y en mi opinión se da porque es más formal que definir los conjuntos de Borel por actividad, es decir, "generar" por cualquier combinación de intersección, unión y complementos de conjuntos abiertos. Es importante tener en cuenta, por cierto, que los conjuntos de Borel son algo más que uniones e intersecciones contables de conjuntos abiertos y cerrados. Hay uniones contables, intersecciones, complementos, etc. de los conjuntos que has mencionado que también son de Borel; puesto que un álgebra sigma incluye una unión contable de miembros como miembro de la colección, y lo mismo ocurre con las intersecciones contables de miembros, entonces podemos tomar, por ejemplo, una intersección contable de una unión contable de miembros y devolver un conjunto de Borel. El artículo "Jerarquía de Borel" en Wikipedia es una buena exposición de esto.

Volvamos a la definición de "álgebra sigma más pequeña". Piénsalo así: si un álgebra sigma incluye todos los intervalos abiertos, debe incluir todos los complementos, uniones contables e intersecciones contables de los intervalos abiertos aplicados en cualquier combinación que elijas, es decir, TODA álgebra sigma que incluya los intervalos abiertos debe incluir dichos conjuntos, por el hecho de que estamos considerando un álgebra sigma en general en primer lugar (sin importar qué otros miembros que no tengan que ver con los conjuntos abiertos estén al acecho).

Por otra parte, si un determinado conjunto está incluido en todas las álgebras sigma que incluyen los conjuntos abiertos, debe ser alguna operación de corte y pegado de uniones, intersecciones y complementos en los conjuntos abiertos, porque si no es un conjunto así, no pertenece a todas las álgebras sigma que incluyen los conjuntos abiertos; es decir, por nuestra propia suposición, ¡no pertenece al menos al álgebra sigma que surge sólo de operar con uniones, intersecciones y complementos en los conjuntos abiertos! Espero que esto le aclare la caracterización del "álgebra sigma más pequeña".

Como ha mencionado otro autor, los conjuntos medibles de Lebesgue incluyen miembros que no son conjuntos de Borel, es decir, que no pueden "hacerse" operando sobre conjuntos abiertos mediante complementos, y uniones e intersecciones contables. Además, hay conjuntos que no son medibles por Lebesgue en absoluto (el conjunto de Vitali, por ejemplo), de hecho, ¡todo conjunto medible por Lebesgue de medida positiva incluye un subconjunto no medible!

Los conjuntos no medibles de Borel pueden ser alcanzados de esta manera; el conjunto de Cantor, un conjunto de medida de Lebesgue nula, puede ser mapeado a través de una función medible a un conjunto de medida positiva. Dicho conjunto, como ya se ha dicho, contiene un conjunto no medible. Consideremos la inversa de nuestra función medible operando sobre este subconjunto no medible, y obtendremos un subconjunto del conjunto de Cantor de medida cero, por lo que obtendremos un subconjunto (esperemos) medible (de medida cero). Esto significa que una función medible puede, en contra de la intuición, asignar un conjunto medible a un conjunto no medible. Pero no puede asignar un conjunto Borel a un conjunto no medible. Así que nos encontramos con un conjunto medible de Lebesgue (¡de medida cero!) que no es Borel.

Esta es, de hecho, la razón por la que se necesitan conjuntos medibles de Lebesgue en lugar de ceñirse estrictamente a los conjuntos de Borel. Si hiciéramos esto último, deberíamos esperar que todos los subconjuntos de un conjunto de medida cero sean a su vez medibles con medida cero, pero si sólo consideramos los conjuntos de Borel "fáciles" como los medibles, nos encontramos con el inevitable problema de tener que lidiar con el hecho de que hay conjuntos de medida cero con subconjuntos que ni siquiera son medibles (en el sentido de que no son de Borel) en absoluto. Por suerte para nosotros, Caratheodory verificó que existe una extensión "completa" de la medida estándar de Borel (es decir, la medida que informa de la longitud de los intervalos) que puede devolver una medida cero para cada subconjunto de un conjunto de medida cero, al tiempo que preserva las medidas que esperamos en los conjuntos de Borel. Se trata, como se puede adivinar, de la medida de Lebesgue.

Los conjuntos de Borel son especiales por las razones que ya he mencionado: son, intuitivamente, "elementales" en su construcción, mientras que los conjuntos que no son de Borel (medibles o no) suelen describirse de forma indirecta en el contexto de la medida de Lebesgue. Sin embargo, se puede representar cada conjunto Borel, en su base, como un conglomerado de uniones, intersecciones y complementos de intervalos abiertos. Pueden no "parecer" elementales, por ejemplo, este conjunto aparentemente sin sentido: $$\bigcap_{k=1}^\infty \bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{i=n}^\infty \bigcap_{j=n}^\infty \{x:\left|f_i(x)-f_j(x)\right|<\frac{1}{k}\}$$

Aunque a primera vista resulte desalentador, esto no es más que una simbología para el conjunto de puntos en los que la secuencia de funciones converge en el sentido de Cauchy, con la intersección y la unión en lugar de "todos" y "existe (al menos uno)", respectivamente: para todos $k$ existe un $n$ tal que para todo $i,j\geq n$ la distancia entre $f_i$ y $f_j$ en este punto es menor que el límite "epsilon" dado $1/k$ . Este conjunto es en sí mismo Borel (por lo tanto medible) ya que es un conjunto de intersecciones y uniones de conjuntos Borel.

Answer 3

Permítanme intentar ayudar aquí. En primer lugar hay que entender cuál es la definición de un $\sigma$ -generada por un conjunto. Por lo tanto, dejemos que $S \subset X$ sea un subconjunto arbitrario de $X$ entonces decimos que $\sigma(S)$ es $\sigma$ -generada por $S$ y se define por $$ \sigma(S)= \bigcap\left\{ \mathcal{F}\subset \mathcal{P}(X) : \mathcal{F} \ \text{is $ |sigma $-algebra and } S \subset \mathcal{F}\right\} $$ se ve claramente que $\sigma(S)$ es el más pequeño $\sigma$ -tal que $S \subset \sigma(S)$ . Entonces puede utilizar $S$ como la topología habitual $\mathcal{T}$ de $X$ para generar el barreno $\sigma$ -Álgebra. Creo que con esta información puedes responder tú mismo a las 3 primeras preguntas.

Para el cuarto, le sugiero que lea sobre el Caratheodory y Hahn teoremas de extensión, verás que si $\mathcal{B}$ son los conjuntos de barriles, y $\mathcal{L}$ los de lebesgue entonces $$ \mathcal{B} \subset \mathcal{L} \subset \mathcal{P}(X) $$ esta última línea muestra que existen conjuntos que no son medibles por Lebesgue, véase por ejemplo el conjunto Vitalli. Entonces, por supuesto, si se trabaja con el medida exterior $\mu^{*}$ entonces todos los conjuntos de $\mathcal{L}$ son medibles con $\mu^{*}$ De nuevo, esto es una consecuencia del teorema de la extensión de la caraterística.

Finalmente el $\sigma$ se debe a la propiedad de que si un contable (esto es lo que $\sigma$ representa, recuerde también que el capital $\Sigma$ se utiliza para sumas numerables) uniones de conjuntos en el $\sigma$ -es un elemento de la $\sigma$ -álgebra. De nuevo el $\sigma$ -La propiedad de radiabilidad de una medida es que $$ \mu \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_i \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_i) $$ para una zona disjunta contable secuencia $\left\{ A_i \right\}$ en el $\sigma-algebra$ .

Espero que le resulte útil.

Answer 4

Punto uno

Las medidas que se suelen considerar se construyen especificando su acción sobre algunos conjuntos básicos como los intervalos semiabiertos. A continuación, se pretende elevarlas a una sigma-álgebra. Las sigma-álgebras constituyen un dominio natural de las medidas . Ese es un lugar donde las medidas se sienten como en casa. ;)

Ahora viene un punto interesante:

Como la más pequeña sigma-álgebra que contiene todos los intervalos semiabiertos son realmente los conjuntos de Borel,
este será el dominio común para todas las medidas construidas de esta manera.

La única diferencia radica en lo lejos que están puede ampliarse .
Aquí es la primera vez que interviene el comportamiento de una medida considerada.

Así, por ejemplo, la medida de Lebesgue vive hasta los conjuntos medibles de Lebesgue (es decir, un poco más de conjuntos que los conjuntos de Borel), mientras que la medida puntual de Dirac puede llegar hasta incluso todos los conjuntos. Pero ambas viven en el común medida independiente dominio de los conjuntos de Borel.

Punto dos

De forma abstracta, se demuestra la mensurabilidad de Caratheodory.

En la práctica, se comprueba más bien si la medida exterior coincide con la medida interior siendo ambas finitas. Eso desvela ya muchos conjuntos aunque no todos. Pero hay que tener en cuenta que esto es no es una caracterización pero sólo algún tipo de criterio...

Punto tres

Sí, es cierto: demasiada gente habla como si los conjuntos de Borel fueran tan fantásticos incluso como si fueran los únicos en el mundo. Pregúntales por qué! ;)

Esperemos que le digan porque permiten considerar la integración de funciones continuas. Por desgracia, mucha gente saca esta conclusión de la analogía entre mensurabilidad y continuidad. ¡¡Eso es realmente malo!! La cuestión es más bien que las funciones continuas son casi constantes a trozos, es decir, simples. Y ese es el ingrediente crucial de la integración de Lebesgue.

Al fin y al cabo, también se pueden considerar espacios de medida exóticos; sólo que son menos útiles respecto a lo anterior...

Punto cinco

Sigma significa suma. La restricción de contablidad proviene del hecho de que las sumas implican como máximo un número contable de términos no evanescentes. Entonces se convierte en razonable pero no exclusivo para considerar a priori sólo las familias contables. ¡¡¡Nótese que hay ramas que también consideran las medidas aditivas bajo familias incontables como la teoría de conjuntos!!!