Conjunto de polinomios posibles

Question

$$x^6\pm x^5\pm x^4 \pm x^3 \pm x^2 \pm x \pm 1 = p(x)$$

Cuál es el conjunto de $A$ de polinomios posibles de la clase de polinomios $p(x)$ tal que el polinomio tiene sólo raíces reales.

Estoy confundido sobre cómo abordar el problema. ¿Debo usar la regla de Descarte?

Answer 1

Regla de Descartes sólo da información sobre el número de raíces reales positivos o negativos.

Las desigualdades de Newton son la clave, aquí. Suponiendo que tal polinomio se divide totalmente en $\mathbb{R}$, debemos tener: $$ \left(\frac{1}{6}\right)^2 \geq \pm \frac{1}{\binom{6}{0}}\cdot\frac{1}{\binom{6}{2}} = \pm\frac{1}{15}$ $ pero eso puede suceder solamente si el signo es negativo. Así tenemos que el coeficiente de $x^6$ y el coeficiente de $x^4$ tienen que ser opuestos. ¿Puedes completar los datos faltantes?