Determinar si la expresión es un número entero.

Question

Yo soy tryin solucionar esto:

Determinar $k$ tal que $\frac{k^2-87}{3k+117}$ es un entero.

Creo que será útil Teorema chino del resto, pero no veo cómo.

Answer 1

Claramente, necesita dividir $3$(say) $k\implies k=3a$

$$\implies \frac{k^2-87}{3k+117}=\frac{(3a)^2-87}{3(3a)+117}=\frac{3a^2-29}{3(a+13)}=a-13+\frac{478}{3(a+13)}$$

Observe que $478$ no es divisible por $3$ a diferencia del denominador

Por lo tanto, hay no hay solución es enteros

Answer 2

Desde $3k+117=3(k+39)$ $k^2-87$ debe ser un múltiplo de $3$. $87=3\cdot29$, que $k^2$ debe ser un múltiplo de $3$, que significa que el $k=3\ell$ % entero $\ell$. Entonces

$$\frac{k^2-87}{3k+117}=\frac{9\ell^2-3\cdot29}{3(3\ell+39)}=\frac{3\ell^2-29}{3\ell+39}=\frac{3\ell^2-29}{3(\ell+13)}\;;$$

¿puede ser un número entero?

Answer 3

Si divide a entero $d$ $k^2-87$ y $3k+117,$

$d$ debe dividir $k(3k+117)-3(k^2-87)=9(13k+29)$

Así, $9$ debe dividir $k^2-87\iff k^2\equiv87\pmod 9\equiv6$

Pero, $(\pm1)^2\equiv1, (\pm2)^2\equiv4, (\pm3)^2\equiv 0, (\pm4)^2\equiv7\pmod 9 \implies k^2\not\equiv6\pmod 9$

Answer 4

Mediante el uso de MAPLE, podemos sondeo la maquinaria del caso. A dar el software en el siguiente código:

 for k from 0 to 2^20 do msolve(k^2-87 = 0, 3*k+117) od;

Usted no conseguirá nada. Nota que toma tiempo para ver el resultado desde $2^{20}$ puede ser un número considerable de nuestros ordenadores.