¿$A/B \cong A \iff B = \{e\}$ grupos $A,B$?

Question

Que $A$ $B$ ser grupos (puede ser infinita)

Es cierto que $A/B$ isomorfo a $A$ $\Leftrightarrow$ $B=\{e\}$

No encontré una manera de probarlo.

Gracias

Answer 1

No del todo cierto como se ha dicho. Lo que es cierto es que el mapa canónico $A\to A/B$ es isomorfismo si y sólo si $B=\{e\}$. Por otra parte, tomar $A$ el grupo del círculo, que puede pensar como todos los números complejos de valor absoluto $1$. Ahora elija $n>1$ y mapa $z\to z^n$; entonces el núcleo $B$ será el grupo de %#% raíces de #%-th de la unidad, pero el $n$.

Answer 2

Esto no es necesariamente el caso.

Contraejemplo: Tomar $$ = \bigoplus_{i \in \Bbb N} \Bbb Z_2, \quad B = \Bbb Z_2 $$

Answer 3

Si $B = \{e\}$ entonces ciertamente $A/B \simeq A$. El isomorfismo envía el coset $a + \{e\}$ % elemento $a$.

Por el contrario si el natural mapa $A \to A/B$ es un isomorfismo $B = \{e\}$ porque $B$ es el núcleo de este mapa. Más generalmente si $A$ es finito y $A/B \simeq A$ y $B = \{e\}$ porque si $|A/B| = |A|$ y $|B| = 1$. Pero si $A$ es infinito, entonces esto no tiene que ser verdadero. Por ejemplo un producto contable $A = \mathbb{Z \times Z \times \cdots}$ y cociente por el primer factor $B = \mathbb Z \times 0 \times 0 \times \cdots$, el resultado sigue siendo un producto contable de $\mathbb Z$.

Answer 4

Esto no es así, considere el grupo $\mathbb Q/\mathbb Z$. Ahora consideremos el subgrupo $\{0,\frac{1}{2}\}$.

Tenemos $\mathbb Q/\mathbb Z\cong (\mathbb Q/\mathbb Z)/\{0,\frac{1}{2}\}$

Answer 5

Esto no es cierto: de hecho, como grupos abelianos, $\mathbb R/\mathbb Q\cong \mathbb R$. Esto es porque ambos son espacios vectoriales sobre $\mathbb Q$, y ambos tienen cardinality incontable y así deben ser de dimensión $\mathfrak c$. Así, son isomorfos como espacios del vector y en particular, grupos abelianos.