¿Por qué es $i! = 0.498015668 - 0.154949828i$?

Question

Mientras se mueve mi portátil el otro día, me terminó de machacar el teclado un poco, y por pura casualidad se las arregló para hacer una búsqueda en google para i!.

Curiosamente, Google calculadora obedientemente, me informó de que $i!$ era, en realidad, $0.498015668 - 0.154949828i$.

¿Por qué es esto?

Yo sé lo que es un factorial es, entonces, ¿qué significa realmente para tomar el factorial de un número complejo? También, son aquellas partes de la compleja respuesta racional o irracional? Complejos factoriales dar lugar a interesantes formas geométricas/curvas en el plano complejo?

Answer 1

Es una especie de abuso de lo que se entiende por factorial. La definición habitual de $$n! = \prod_{k=1}^n k$$ obviamente no se puede aplicar debido a que usted puede sentarse y contar los números enteros hasta el final de los tiempos y más allá de que nunca vas a encontrar a $i$.

Sin embargo, se puede generalizar a lo que nos referimos factorial mediante el uso de una propiedad de la función gamma, que se define como $$\Gamma(z) = \int_0^{\infty} e^{-t}t^{z-1}\, dt$$ Esto tiene la útil propiedad de que, para $n \in \mathbb{N}$, $$\Gamma(n) = (n-1)!$$ que tiene una fácil prueba por inducción sobre $n$. También tiene un montón de buena analítica propiedades que lo convierten en una buena opción para una extensión de la función factorial.

De todos modos, ya que la función gamma puede ser definido (después de continuación analítica; ver LVK del comentario) en todo el plano complejo, menos el de la no-enteros positivos, para un general $z \in \mathbb{C} - \{ -1, -2, \cdots \}$ podemos poner $$z! \overset{\text{def}}{=} \Gamma(z+1)$$ Por esta razón tenemos $$i! = \Gamma(i+1) = \int_0^{\infty} e^{-t}t^{i}\, dt \approx 0.498015668−0.154949828i$$

Ver también aquí y aquí.

Answer 2

Para responder a tu última pregunta, hay un par de fractales se muestra aquí bajo "Ejemplos aseado".

Ver también este post de blog.

Answer 3

$$i!=\Gamma(i+1)=\int_0^{\infty}e^{-x} x^{i}dx$$ where $\Gamma(n) $ representa la función Gamma

Nota %#% $ #%