Ayuda con Cardano ' fórmula s

Question

Estoy tratando de entender cómo resolver ecuaciones cúbicas utilizando la fórmula de Cardano. Para probar el método, yo expandir $(x-3)(x+1)(x+2)=x^3-7x-6$. Mi esperanza es que la fórmula se producen las raíces $-1,-2,3$. Pero la fórmula parece hacer un lío de cosas: calculo que $\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}=\frac{100}{27}$, y por tanto, la fórmula me da la desconcertante $$\begin{equation} \sqrt[3]{3+i \sqrt{\frac{100}{27}}}+\sqrt[3]{3-i \sqrt{\frac{100}{27}}}. \end{equation}$$

Me gustaría saber si hay una manera directa de una o de todas las raíces $-1,-2,3$ a partir de esta expresión. He preguntado a varias personas esta pregunta, y la habitual frase de remate es que he producido una prueba de que esta expresión es $-1,-2$ o $3$ (dependiendo de la elección de la raíz cúbica, etc.) Que no es mi objetivo.

He encontrado un libro de Cardano los escritos en la biblioteca, pero parece que algunos de sus escritos se han perdido. Estoy convencido de que él y su cohorte había algún método para hacerlo. Así que, ¿alguien sabe cómo utilizar el cúbicos fórmula para la real? Específicamente, en tal manera como para reconocer el resultado como un entero determinado/número racional cuando se trata de uno?

Gracias!

Answer 1

Este es el casus irreducibilis, discutió por primera vez en detalle por Bombelli. Terminamos inevitablemente la necesidad de viajar a través de los números complejos para acabar con las raíces reales! Esto es importante históricamente, ya que era la primera vez que uno necesita para tratar el complejo no real números en serio. No necesitamos que preocuparse acerca de la no-los números reales a la hora de resolver cuadráticas, ya que después de todo lo que podemos decir que no hay raíces. Pero ese no es el caso aquí, ya que es innegable que hay raíces reales.

Cuando usted está tratando de encontrar las raíces cúbicas de su expresión compleja, se puede asumir que una raíz cúbica de su primera expresión es $a+bi$. Cubo de esto, y usted obtendrá algunos desordenado ecuaciones. Pero puede (en este caso) "spot" de la raíz, y, a continuación, termine. Pero eso es hacer trampa, es enteramente debido al hecho de que las raíces de la original cúbicos son "agradables".

Una solución de tipo es el uso de la trigonométricas solución para el cúbicos, el cual se utiliza la identidad trigonométrica $\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$. Es posible que desee ver en el artículo de Wikipedia sobre el cúbicos, que es razonablemente completo.

Answer 2

Fórmulas de Cardano trabajan así. Cuando un polinomio con coeficientes reales tiene tres raíces reales distintas, las fórmulas darán dos de las raíces con números complejos como pasos intermedios. En su caso, de hecho: $$\sqrt[3]{3+i \sqrt{\frac{100}{27}}} = \frac{3}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{6}, \qquad \sqrt[3]{3-i \sqrt{\frac{100}{27}}} = \frac{3}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{6},$$ por lo que su suma es $3$.

Answer 3

Es posible demostrar que si $a$ $b$ son relativamente primos números enteros tales que a $a$ no es divisile por $3,$, entonces la cúbico $x^{3}+ax+b$ tiene todas sus raíces enteros si y sólo si $4a^{3}+27b^{2}= -c^{2}$ para algunos entero $c.$ Si $a$ es divisible por $3,$ pero $a$ $b$ son todavía relativamente primos, a continuación, la situación es más complicaed, y hay tres entero raíces, si y sólo si $4a^{3}+27b^{2} = -729c^{2}$ para algunos entero $c.$ En el primer caso, no son enteros $s$ $t$ tal que $-a = s^{2}+t^{2}-st,$ $b = st(s-t)$, y las raíces se $-s,t$$s-t$. En el segundo caso, existen enteros $s$ $t$ tal que $-a = 3(s^{2}+t^{2}-st)$ y las raíces se $s+t, t-2s$$s-2t$. La única forma que conozco para demostrar esto mismo es con el hecho de que los enteros de Eisenstein son una única factorización de dominio. El anillo de enteros de Eisenstein es $\mathbb{Z}[\omega]$ donde $\omega$ es un complejo primitiva raíz cúbica de la unidad.