Un enfoque de prueba de "ingenuo" para la convergencia de $(n!)^2/(2n)!$

Question

Prueba que $(n!)^2/(2n)!$ converge a $0$. Llevo siguiendo los pasos:

1. $(n!)^2/(2n)(2n-1)\cdots(n!) = (n!)/(2n)(2n-1)\cdots(n-1)$. Supongo (¿es necesario demostrar?) divide a que $n!$ $(2n)(2n-1)\cdots(n-1)$.
2. Para tener el final $1/K$ ($K$ es el resto después de la división del denominador por $n!$).
3. aumenta con el aumento de $1/K$ $n$ converge a $0$, es una secuencia nula.

Gracias por cualquier Consejo.

Answer 1

Creo que el primer paso conduce a una desigualdad fácil:

$$\frac{(n!)^2}{(2n)!} = \frac{1}{n+1} \underbrace{\frac{2}{n+2}}_{\le 1}\ldots \underbrace{\frac{n}{2n}}_{\le 1} \le \frac{1}{n+1} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} 0$$

Answer 2

Una discusión combinatoria demuestra que $\frac{(2n)!}{n!^2}=\sum_{j=0}^n\binom nj^2$ (un conjunto de $S$ $2n$ elementos, $S_1$ un conjunto con elementos de $n$ y $S_2$ su complemento; $n$ elementos de elegir, es tomar elementos de $k$ $S_1$ y $n-k$ $S_2$), así $\frac{(2n)!}{n!^2}\geq \binom n1^2=n^2$ y $\frac{n!^2}{(2n)!}\leq \frac 1{n^2}$.

De hecho, $\frac{n!^2}{(2n)!}$ se comporta como $C\sqrt n4^{-n}$. Usted puede encontrar la constante $C$ gracias a la fórmula de Stirling.

Answer 3

En forma de Joel de la fórmula, cada fracción en el producto es menor o igual a 1/2, y ya que está aumentando el número de fracciones en el producto...