Estoy buscando ejemplos de completamente integrable con sistemas y específicamente geodésica de los flujos. Recordamos que cuando tenemos un simpléctica colector $(M,\omega)$ ($M$ de la dimensión de $2n$) y $H:M\rightarrow\mathbb{R}$ una función suave, su simpléctica gradiente es el único campo de $X_H$ $M$ satisfactorio
$$\textrm{d}H=\omega(X_H,\cdot)$$
y decimos que el sistema de $(M,\omega,H)$ es completamente integrable es que existe $f_1,\ldots,f_{n-1}:M\rightarrow\mathbb{R}$ liso funciones de Poisson desplazamientos: $\{f_i,f_j\}=\{f_k,H\}=0$ donde $\{f,g\}=\omega(X_f,X_g)$, y con $\textrm{d}f_1,\ldots,\textrm{d}f_{n-1},\textrm{d}H$ linealmente independientes en un denso conjunto de $M$.
En la cotangente del paquete de $T^*M$ de un colector $M$, existe un simpléctica canónica de la forma,
$$\omega_\textrm{can}=\sum{\textrm{d}x_i}\wedge\textrm{d}\xi_i$$
$(x_1,\ldots,x_n,\xi_1,\ldots,\xi_n)$ coordenadas locales de $T^\star M$. Entonces, si consideramos que una de riemann colector $(M,g)$, podemos canónicamente definir una forma simpléctica en $TM$ con el paquete de isomorfismo $\Phi:TM\rightarrow T^\star M$ dada por
$$\Phi(p,v)=(p,v^\star)$$
donde $v^*(w)=g(v,w)$ es la representación de Riesz de un funcional. Por lo tanto podemos definir a la $\omega=\Phi^{\star}\omega_\textrm{can}$. De esta manera, la geodésica de flujo puede ser visto como el flujo de la simpléctica gradiente de la métrica de hamilton $H(p,v)=\frac{1}{2}g_p(v,v)$. Entonces mi pregunta es si el flujo geodésico en la tangente paquete del plano hiperbólico es completamente integrable y, si sí, ¿cuál es la otra función al lado de la métrica de hamilton $H$. Cualquier ayuda será apreciada.
