¿Cómo integrar $\int_1^\infty \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-1}}$?

Question

Cómo integrar %#% $ #%

Traté de $$\int_1^\infty \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-1}}$ y $t=\sqrt{x^2-1}$ pero no alcanzó el resultado correcto.

Answer 1

Sugerencia: Que $x \mapsto 1/y$, entonces tenemos $\mathrm{d}x = -\mathrm{d}y/y^2$ lo que implica que el $-\mathrm{d}y = \mathrm{d}x/x^2$. Por lo tanto $$ \int_1^\infty \frac1{\sqrt{x^2-1\,}\,}\frac{\mathrm{d}x}{x^2} = \int_1^0 \frac{-\mathrm{d}y}{\sqrt {(1/y) ^ 2-1\} \,} = \int_0^1 \frac{y\,\mathrm{d}y}{\sqrt{1-y^2\,}\,} $$ desde aquí una substitución simple y (obvia) completará el trabajo.

Answer 2

Esta es la manera más fácil:

$$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-1}} = \int \frac{dx}{x^3 \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}}$$

Ahora sustituye $u = 1 - \frac{1}{x^2}$

Answer 3

$$x=\sec u, \;\mathrm{d}x=\tan u\sec u\,\mathrm{d}u$$

Si decides $x\mapsto \frac1x$ $y=1-x^2,\;\mathrm{d}y=-2x\,\mathrm{d}x$ entonces el substituto

Answer 4

$$\begin{align} \int_1^\infty\frac{\mathrm{d}x}{x^2\sqrt{x^2-1}} &=\frac12\int_1^\infty\frac{\mathrm{d}x}{x^{3/2}\sqrt{x-1}}\\ &=\frac12\int_0^\infty\frac{x^{-1/2}\mathrm{d}x}{(1+x)^{3/2}}\\ &=\frac12\mathrm{B}\left(\frac12,1\right)\\ &=\frac12\frac{\Gamma\left(\frac12\right)\Gamma(1)}{\Gamma\left(\frac32\right)}\\ &=\frac12\frac{\Gamma\left(\frac12\right)\Gamma(1)}{\frac12\Gamma\left(\frac12\right)}\\[9pt] &=1 \end {Alinee el} $$

Answer 5

$\newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, nº 1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\dsc}[1]{\displaystyle{\color{red}{#1}}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\Li}[1]{\,{\rm Li}_{#1}} \newcommand{\norm}[1]{\left\vert\left\vert\, nº 1\,\right\vert\right\vert} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$ \begin{align}&\overbrace{\color{#66f}{\large% \int_{1}^{\infty}{\dd x \over x^{2}\root{x^{2} - 1}}}} ^{\ds{\dsc{x} = \dsc{1 \over t}\ \imp\ \dsc{t} = \dsc{1 \over x}}}\ =\ \int_{1}^{0}{-\,\dd t/t^{2} \over t^{-2}\root{1/t^{2} - 1}} =\int_{0}^{1}{t\,\dd t \over \root{1 - t^{2}}} =\left. -\root{1 - t^{2}}\right\vert_{0}^{1}=\color{#66f}{\LARGE 1} \end{align}