Máximos y mínimos de una función

Question

Quiero saber el máximo y el mínimo absolutos de los valores de esta función:

$\ f(x,y)= 4x^2 + 9y^2 - x^2y^2 $

$\nabla f(x,y)=(8x-2xy^2,18y-2yx^2) $

Creo que estos puntos críticos:

$\ (0,0);(3,2);(-3,2);(3,-2);(-3;-2) $

En$\ (0,0)$ Hesse critirium trabajo,$\ (0,0)$ es un mínimo local

Pero espera:

para $\ (3,2)$: $$ \begin{bmatrix} 0 & -24 \\ -24 & 0 \\ \end{bmatrix} $$

Así que en este caso (y en el resto de puntos) el criterio de Hess no funciona.

Cómo puedo demostrar que $\ (0,0)$ es un mínimo absoluto de la función, y lo que sobre los otros puntos? Son puntos de silla? Max, Min?

Muchas gracias, lo siento por mi mal inglés.

Aquí, en Argentina, la universidad es gratuita, pero las lecciones de inglés no.

Answer 1

Sugerencia: Prueba de Extrema

Deje $f$ ser una función de dos variables que tiene continuo segunda derivadas parciales en una región rectangular $Q$ y dejar:

$$\displaystyle g(x,y) = f_{xx}(x, y)f_{yy}(x,y)-[f_{xy}(x,y)]^2$$

para cada $(x,y)$$Q$.

Si $(a,b)$$Q$$f_x(a,b) = 0, f_y(a,b) = 0$, entonces:

• (i) $f(a, b)$ es un máximo local de $f$ si $g(a,b) \gt 0$$f_{xx}(a, b) \lt 0$.
• (ii) $f(a, b)$ es un mínimo local de $f$ si $g(a,b) \gt 0$$f_{xx}(a, b) \gt 0$.
• (iii) $f(a,b)$ no es un extremo de $f$ si $g(a,b) \lt 0$

Se nos da:

$$f(x,y)= 4x^2 + 9y^2 - x^2y^2$$

Los puntos críticos (que lo hizo muy bien) son:

$$(0,0);(3,2);(-3,2);(3,-2);(-3,-2)$$

Tenemos:

• $f_x = 8x - 2xy^2, f_{xx} = 8 - 2y^2$
• $f_y = 18y - 2x^2y, f_{yy} = 18 - 2x^2$
• $f_{xy} = -4xy$

Ahora evaluar cada uno de los puntos críticos en el uso de la definición anterior.

También, ayuda a que a veces la trama de la función y tenemos:

Ejemplos:

• En$(x, y) = (0, 0)$, $g(0,0) \gt 0$ $f_{xx} \gt 0 \rightarrow$ un mínimo local
• En$(x, y) = (3, 2)$, $g(3, 2) \lt 0 \rightarrow$ no extremo
• Repita con el resto de puntos críticos

Actualización:

Hesse determinante está dado por:

$$\det(H) = \begin{vmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy}\end{vmatrix} \ $$

Si usted está utilizando el estado de Hesse, hay cuatro condiciones que necesita para la prueba:

• (01) $f_{xx} \gt 0$ $\det H \gt 0 \rightarrow$ mínimo local
• (02) $f_{xx} \lt 0$ $\det H \gt 0 \rightarrow$ máximo local
• (03) $\det(H) \lt 0 \rightarrow$ punto de silla
• (04) $\det(H) = 0 \rightarrow$ ninguna declaración puede ser hecha usando este enfoque

Así, para cada punto crítico en que se encuentra, puede que ahora se clasifican utilizando los criterios anteriores y su enfoque?

Se puede comparar esto con el enfoque de arriba?

Puede usted mirar a otros criterios para ayudar a distinguir los puntos críticos como se mencionó en los comentarios?

Answer 2

Revisar el análisis de Amzoti, me figered algo:

$\ (3,2);(-3,2);(3,-2);(-3;-2) $ No son puntos extremos.

$\ (0,0)$ Es un extremo? Permite comprobar:

si $\ (0,0) $ es mínimo, entonces:

$\ f(x,y) > f(0,0) $

Entonces

$\ f(x,0)= 4x^2 (0,0) \ is \ minimum $

$\ f(0,7)= 9y^2 (0,0) \ is \ minimum $

$\ f(x,x)= 11x^2-x^4 = h(x)$

$\ h(x)= 11x^2-x^4$

$\ h'(x)= x(22-4x^2) \\ h'(0)=0 \\ h'(\sqrt{5.5})=0 \\ h'(-\sqrt{5.5})=0 $

$\ h''(x)= 22-12x^2 \\ h''(0)= 22 $
$\ h''(\sqrt{5.5})= -44 \\ h''(-\sqrt{5.5})= -44 $

$\ (0,0) $ no es Mínimo ni máximo.

$\ f(10,10)<F(0,0) $