Diversos conceptos de "cierre" o "finalización" en matemáticas

Question

Por curiosidad, me estoy preguntando acerca de todas las construcciones idempotentes que tenemos en matemáticas (parece que en general se denominan "cierre" o "terminación"), y cómo algunas de ellas están relacionadas (por ejemplo, el radical de un ideal y el cierre de un subconjunto de un ideal). $k^n$ en la topología de Zariski, a través de la Nullstellensatz (el radical y el cierre topológico son idempotentes).

Así que, una respuesta por post, pero si tienes dos conceptos que están relacionados, supongo que estaría bien ponerlos juntos. Para completar la lista, añadiré "radical" y "cierre topológico".

EDIT: Culpa mía. Debería haber mirado un poco más antes. Hay esta lista en Wikipedia y esta lista en nLab. Estoy seguro de que hay muchos más conceptos por ahí, así que si se te ocurre alguno más, no dudes en añadirlo. Pero centrémonos en cómo se relacionan algunos de estos conceptos: por ejemplo, ¿un tipo de terminación surge en función de otro? ¿Cuáles son las formas generales en las que surgen las terminaciones y los cierres?

Answer 1

La operación de cierre más interesante que conozco aparece en el límite inferior de Razborov para la complejidad del circuito monótono de la función de camarilla. En esa demostración necesita una clase de sistemas de conjuntos "simples", y para conseguirlo define una operación k-aria muy ingeniosa sobre conjuntos y define un sistema de conjuntos simple como aquel que está cerrado bajo esa operación. No sé qué moraleja general sacar de esto, pero es bastante diferente de los ejemplos mencionados hasta ahora.

Answer 2

En general, si $A\subset B$ es un completo reflexivo subcategoría, entonces cada objeto $a\in A$ es isomorfo a su imagen bajo el reflector. Esto parece incluir muchos casos: $\mathbf{Ab}\subset \mathbf{Grp}$, $\mathbf{CompMet}\subset\mathbf{Met}$, $\mathbf{Top}_{n+1}\subseteq \mathbf{Top}_{n}$ (como en ¿por Qué es Top_4 una reflexión subcategoría de Top_3?), etc.

EDIT: después de Pete L. Clark comentario, he aquí una aclaración: La subcategoría $A$ arriba se llama reflectante si la inclusión functor $A\subset B$ tiene un adjunto a la izquierda, y completa si esta inclusión functor es completa. En el caso de $A$ es un reflejo de la subcategoría, la izquierda adjunto a la inclusión functor se llama un reflector.

Answer 3

Casi todas las formas de compactación. La compactificación de un espacio compacto es ella misma, y más vale que una compactificación sea compacta o no debería llamarse compactificación.

Lo mismo ocurre con la terminación de espacios métricos, por supuesto. (Lo sé, no debería poner dos respuestas en una para este tipo de lista, pero están estrechamente relacionadas y son trivialmente conocidas por todos. Las pongo aquí para completar la lista).

Answer 4

Un casco convexo es también una forma de cierre.

Answer 5

El radical de un ideal - tenemos $\sqrt{\sqrt{I}}=\sqrt{I}$ .