Línea para el conjunto de vectores tridimensionales

Question

Si hay que un sistema para 3D vectores $v$ $ v \times \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -27 \\ 8 \end{pmatrix}$ ¿Dónde está una línea, ¿cuál es la ecuación de la línea?

No sé cómo solucionar el problema, excepto la configuración de $v = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ y tal vez tener un sistema lineal de ecuaciones, pero no veo cómo podría utilizar para resolver el problema.

Answer 1

Que $\vec{v}=\langle a, b, c\rangle, \;\; \vec{u}=\langle-1, 1, 4\rangle,\;\;\vec{w}=\langle5, -27, 8\rangle$.

Entonces $\vec{v}\times\vec{u}=\langle b-c, -4a-c, a+b\rangle,$

así $\vec{v}\times\vec{u}=\vec{w}\iff 4b-c=5,\; -4a-c=-27,\; a+b=8\iff c=4b-5 \text{ and } a=8-b$,

así $\vec{v}=\langle8-b, b, 4b-5\rangle=\langle8,0,-5\rangle+b\langle-1, 1, 4\rangle$.

Por lo tanto, la línea tiene ecuaciones paramétricas $\color{red}{x=8-t, \; y=t, \;z=4t-5}$.

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$\textbf{Alternate solution}$:

Con la misma notación que arriba, que $\vec{z}=\vec{u}\times\vec{w}=\langle116, 28, 22\rangle$.

Entonces $\vec{z}\times\vec{u}=(\vec{u}\times\vec{w})\times\vec{u}=(\vec{u}\cdot\vec{u})\vec{w}-(\vec{u}\cdot\vec{w})\vec{u}=18\vec{w}$ $\vec{u}\cdot\vec{u}=18$ y $\vec{u}\cdot\vec{w}=0$.

Entonces si $\vec{s}=\frac{1}{18}\vec{z}=\langle\frac{58}{9}, \frac{14}{9}, \frac{11}{9}\rangle\;$ y $\;\color{red}{\vec{r}=\vec{s}+t\vec{u}=\langle\frac{58}{9}-t, \frac{14}{9}+t, \frac{11}{9}+4t\rangle}$,

$\hspace{.3 in}\vec{r}\times\vec{u}=(\vec{s}+t\vec{u})\times\vec{u}=\vec{s}\times\vec{u}+t(\vec{u}\times\vec{u})=\vec{w}+t\vec{0}=\vec{w}.$

Answer 2

$ \newcommand{\i de}{\hat{\mathbf{i}}} \newcommand{\j}{\hat{\mathbf{j}}} \newcommand{\k}{\hat{\mathbf{k}}} \newcommand{\v}{\vec{\mathbf{v}}} $ Deje $v = \v$ y $$ \v = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}, \quad \i = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \j = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \k = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $$ Entonces $$ v \times \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ -27 \\ 8 \end{bmatrix} $$ puede escribirse como $$ \v \times \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ -27 \\ 8 \end{bmatrix} $$ Que nos permita ampliar el vector producto: $$ \begin{aligned} \v \times \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{vmatrix} \i & \j & \k \\ a & b & c \\ -1 & 1 & 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} b & c \\ 1 & 4 \end{vmatrix} \i\begin{vmatrix} a & c \\ -1 & 4 \end-{vmatrix} \j+ \begin{vmatrix} a & b \\ -1 & 1 \end{vmatrix} \k = \begin{bmatrix} 5 \\ -27 \\ 8 \end{bmatrix} \end{aligned} $$ Por lo tanto, llegamos a la conclusión de $$ \begin{cases} 4 b - c = 5 \\ 4 a + c = 27 \\ a + b = 8 \end{casos} \implica \begin{cases} 4 b - c = 5 \\ 4 a + 4b = 32 \\ a = 8 - b \end{casos} \implica \begin{cases} 4 b - c = 5 \\ 32 + 8b = 32 \\ a = 8 - b \end{casos} \implica \begin{cases} c = -5 \\ b = 0 \\ a = 8 \end{casos} $$ Finalmente, podemos escribir $$ \bbox[9px, border:3px solid #FF0000]{v = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}} $$

Answer 3

Ciertamente se reduce a resolver un sistema de ecuaciones lineales

Usted necesita el producto cruzado de la fórmula aquí, para que un determinante de la forma existe. La información acerca de que se puede encontrar aquí: http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/CrossProduct.aspx

Así que si usted llame a su vector de $v=<a,b,c>$, a Continuación, todo lo que necesitas hacer es configurar el determinante por la primera fila $x,y,z$, la segunda fila $a,b,c$ y la tercera fila $-1,1,4$ Trabajando fuera el factor determinante de los resultados en: $x(4b-c)-y(4a+c)+z(a+b)$. Traer al frente negativos de la $y$ interior para obtener las siguientes ecuaciones: $4b-c=5$ , $-4a-c=-27$ y $a+b=8$ Puede resolver estas ecuaciones? Ahora bien, ¿sobre que línea? Recuerde que el vector cero técnicamente también trabajo para una ecuación paramétrica de esta "línea" de lo que se puede obtener.