¿Es el poder conjunto de $\mathbb R$ un contable generado $\sigma$-álgebra?

Question

¿Es el conjunto de potencia de la línea real, $\mathcal P(\mathbb R)$, contable generado, es decir, hay una subclase contable $P'\subseteq \mathcal P(\mathbb R)$ tal que $\mathcal P(\mathbb R) = \Sigma(P')$?

Answer 1

Dada una colección de $\Sigma_0$ de los subconjuntos de un conjunto $X$, definir de forma recursiva un transfinito secuencia de longitud $\omega_1$ (el primero de los innumerables ordinal) por ajuste (para $\alpha<\omega_1$) $$ \Sigma_{\alpha+1}=\Sigma_\alpha\cup\{X\setminus A\mid A\in\Sigma_\alpha\}\cup B_\alpha, $$ donde $B_\alpha$ se compone de todos los subconjuntos de a $X$ que son una contables de la unión de conjuntos en $\Sigma_\alpha$. Además, el conjunto $$ \Sigma_\lambda=\bigcup_{\alpha<\lambda}\Sigma_\alpha $$ para $\lambda\le\omega_1$ un límite ordinal.

A continuación, $\Sigma_{\omega_1}$ $\sigma$- álgebra $\Psi$ generado por $\Sigma_0$. Esto es demostrado fácilmente:

• Por inducción, cada una de las $\Sigma_\alpha$ es un subconjunto de a $\Psi$.
• Por otro lado, $\Sigma_{\omega_1}$ es cerrado bajo contables de las secuencias, ya que cualquier contables colección de conjuntos en $\Sigma_{\omega_1}$ pertenecen realmente a $\Sigma_\beta$ algunos $\beta<\omega_1$; esto es simplemente el hecho de que una contables de la unión de conjuntos contables es contable, lo que se traduce en el hecho de que, dada una contables colección de conjuntos en $\Sigma_{\omega_1}$, todos ellos aparecen en una contables de la etapa, y el supremum de estas etapas es todavía contables.

Esto significa que $\Sigma_{\omega_1}$ es $\sigma$-álgebra, por lo que coincide con $\Psi$.

(No importa aquí, pero, por otro lado, puede que realmente tienes que ir todo el camino hasta el $\omega_1$ para obtener este. Por ejemplo, si $\Sigma_0$ es la colección de subconjuntos abiertos de ${\mathbb R}$, luego de no llegar a la $\sigma$-álgebra de Borel conjuntos en cualquier contables etapa.)

Ok. Por inducción, si $\Sigma_0$ es contable, entonces cada una de las $\Sigma_\alpha$ $\alpha$ contable tiene un tamaño en la mayoría de las $|{\mathbb N}^{\mathbb N}|=|{\mathbb R}|$, e $\Sigma_{\omega_1}$ por lo tanto tiene un tamaño en la mayoría de las $|{\mathbb R}|\times\omega_1=|{\mathbb R}|$. Esto significa que usted no puede llegar a todo el poder conjunto de los reales de esta manera.