continúa hasta el infinito.
Obtener dos soluciones por reescribir el término en la forma de la ecuación de $x = 3-(2/x)$, $1$ y $2$.
Pero en mi opinión este término debe tener sólo un valor posible. Entonces ¿cuál es incorrecto y por qué?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Si continúa la adición de números a la expresión de una en una, luego la secuencia $$ 3,\; 3-2,\; 3-\frac{2}{3},\; 3-\frac{2}{3-2},\; 3-\frac{2}{3-\frac{2}{3}},\; 3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-2}},\;3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3}}}\ldots, $$ o $$ 3,\; 1,\; \frac{7}{3},\; 1,\; \frac{15}{7},\; 1,\;\frac{31}{15},\;\ldots, $$ que consiste en la alternancia de dos subsecuencias: uno es idéntica $1$, y el otro converge a $2$. Dependiendo de exactamente cómo definir el valor de la fracción infinita (es decir, lo que la secuencia que se defina el límite de), podría ser $1$ o $2$, o no convergente.
Tadatmya
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186
Ven como dos series diferentes y entenderás por qué 1 y 2 son posibles soluciones de este:
serie 1: $\{3-2, 3-\frac{2}{3-2}, 3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-2}}, ...\}$
serie 2: $\{3-\frac{2}{3}, 3-\frac{2}{3-\frac{2}{3}}, 3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3}}}, ...\}$.
1 la serie converge a 1 mientras que converge la serie 2 a 2.
Markus Scheuer
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Nota: OP expresión es generalmente considerado como continuado fracción. Vamos a mostrar que tiene la única solución de $2$.
Antes de analizar OPs expresión, vamos a echar un vistazo a una continuación de la fracción de la representación de $\sqrt{2}$
\begin{align*} \sqrt{2}=[1;2,2,2,\ldots]=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ddots}}} \end{align*}
La notación conveniente $[1;2,2,2,\ldots]$ se muestra en la parte entera $1$ $\sqrt{2}$ en la primera posición, seguido por los sucesivos valores de $2$ en los denominadores a la izquierda de la '$+$'.
Debido a que el numerador siempre es $1$ se llama una simple continuación de la fracción. En general, un simple continuación de la fracción se puede escribir como
\begin{align*} x=[a_0;a_1,a_2,a_3,\ldots]=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\ddots}}} \end{align*}
La aproximación por fracciones continuas finitas de $x$ es la secuencia \begin{align*} [a_0],[a_0;a_1],[a_0;a_1,a_2],[a_0;a_1,a_2,a_3],\ldots \end{align*}
En caso de $\sqrt{2}$ obtenemos \begin{align*} [a_0]&=[1]=1\\ [a_0;a_1]&=[1;2]=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\\ [a_0;a_1,a_2]&=[1;2,2]=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}=\frac{7}{5}\\ [a_0;a_1,a_2,a_3]&=[1;2,2,2]=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}=\frac{17}{12}\\ &\ldots \end{align*}
En general podemos considerar una continuación de la fracción en la forma
\begin{align*} x=a_0+\frac{b_1}{a_1+\frac{b_2}{a_2+\frac{b_3}{a_3+\ddots}}}\tag{1} \end{align*}
y la aproximación de $x$ es de forma análoga
\begin{align*} x_0&=a_0\\ x_1&=a_0+\frac{\left.b_1\right|}{\left|a_1\right.}=a_0+\frac{b_1}{a_1}\\ x_2&=a_0+\frac{\left.b_1\right|}{\left|a_1\right.} +\frac{\left.b_2\right|}{\left|a_2\right.} =a_0+\frac{b_1}{a_1+\frac{b_2}{a_2}}\\ x_3&=a_0+\frac{\left.b_1\right|}{\left|a_1\right.} +\frac{\left.b_2\right|}{\left|a_2\right.} +\frac{\left.b_3\right|}{\left|a_3\right.} =a_0+\frac{b_1}{a_1+\frac{b_2}{a_2+\frac{b_3}{a_3}}}\\ &\ldots \end{align*}
Ahora que estamos bien preparados para echar un vistazo a OPs expresión
\begin{align*} x=3+\frac{-2}{3+\frac{-2}{3+\frac{-2}{3+\ddots}}} \end{align*}
Aquí ponemos el '$-$' signo del denominador con el fin de obtener la misma representación, como en (1). En una forma más compacta, podemos escribir
\begin{align*} x=3+\frac{\left.-2\right|}{\left|3\right.} +\frac{\left.-2\right|}{\left|3\right.} +\frac{\left.-2\right|}{\left|3\right.} +\cdots \end{align*}
La aproximación de $x$ por su finitos fracciones continuas es
\begin{align*} x_0&=3\\ x_1&=3+\frac{\left.-2\right|}{\left|3\right.}=3+\frac{-2}{3}=\frac{7}{3}\\ x_2&=3+\frac{\left.-2\right|}{\left|3\right.} +\frac{\left.-2\right|}{\left|3\right.} =3+\frac{-2}{3}=\frac{15}{7}\\ x_3&=3+\frac{\left.-2\right|}{\left|3\right.} +\frac{\left.-2\right|}{\left|3\right.} +\frac{\left.-2\right|}{\left|3\right.} =3+\frac{-2}{3+\frac{-2}{3+\frac{-2}{3}}}=\frac{31}{15}\tag{2}\\ &\ldots \end{align*}
Vemos de (2) $x$ converge a $\lim_{n\rightarrow \infty}\left(2+\frac{1}{n}\right)=2$ que es fácil de demostrar.
Conclusión: El infinito continuó fracción $x$ se define como el límite de la correspondiente aproximación finita fracciones continuas en (2) y nosotros a fin de obtener el $x=2$ como la única solución.
Epílogo: Otra joya es la continuación de la fracción de $e$
\begin{align*} e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,...] \end{align*}
y aquí es una breve prueba de ello.
