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Question

La sentencia que necesita traducción es esta:

Todo lo que odia algo, pero sólo de los científicos odia todo.

Con respecto a la primera parte de la frase, estoy bastante seguro de que la traducción correcta es:

$$\forall x\exists yHxy$$

pero con respecto a la última parte he llegado a dos soluciones: $$ \forall x\forall y(Hxy \to Sx)$$ o $$ \forall x(\forall yHxy \to Sx)$$

Mi conocimiento me dice que estos no son equivalentes, pero yo simplemente no puede comprender que uno se adecua mejor (tal vez debería añadir que tengo algunos problemas grapsing dos cuantificadores juntos, en general).

El último me parece estar diciendo algo a lo largo de las líneas de, "Para todo x, si odia todo lo $y$,, $x$, es una de los científicos", Pero ¿qué acerca de los antiguos? Dice: "para cada par de cosas, $x$ $y$ si $x$ odia a $y$,, $x$, es una de los científicos", o qué?

Ninguna de ellas la correcta, para que la materia?

Gracias!

Answer 1

La segunda versión es lo que usted está buscando, y que describe bastante bien (no podrían ser algunos de los naturales matices de la lengua, pero yo tendría en cuenta esas interpretaciones como irregulares o poco frecuentes).

Alguna otra manera de detectar una diferencia es negar ambas expresiones. En tal caso

$$\neg\forall x\forall y (Hxy \a Sx) \quad \text{ es equivalente a } \quad \exists x \existe y (Hxy \de la tierra \neg Sx), $$

eso significa que "existe un no-científico que odia algo", mientras que

$$\neg\forall x ((\forall y Hxy) \a Sx) \quad \text{ es equivalente a } \quad \exists x ((\forall y Hxy) \de la tierra \neg Sx), $$ es decir, "existe un no-científicos que odia todo".

Tenga en cuenta, que es la implicación del operador $\to$, y que el cuantificador está en su lado izquierdo, que lo cambia todo, por ejemplo,

• $\forall x \forall y (Px \land Qxy)$ es lo mismo que $\forall x (Px \land \forall y Qxy)$,
• $\forall x \forall y (Px \to Qxy)$ es lo mismo que $\forall x (Px \to \forall y Qxy)$,
• por supuesto que hay otros operadores con un comportamiento similar, por ejemplo, $\gets$ (atrás implicación).

Este fenómeno está relacionado con la covarianza y contravarianza (es decir, la implicación del operador es contravariante en su lado izquierdo). Algún problema similar también se discute en los comentarios aquí.

Edit: En la segunda pregunta de si

$$∀x.\ \Big(∀y.\ H(x,y)\Big)→S(x) \quad \text{ is equivalent to } \quad ∀x.\ ∃y.\ H(x,y)→S(x).$$

En la lógica clásica sí. Tenemos que $$p \to q \iff \neg p \lor q$$ lo \begin{align} \forall x\ \big(\forall y\ &Hxy\big) \to Sx, \\ \big(\forall y\ &H\mathtt{x}y\big) \to S\mathtt{x}, \\ \neg\big(\forall y\ &H\mathtt{x}y\big) \lor S\mathtt{x}, \\ (\exists y\ \neg{\!\!}&H\mathtt{x}y) \lor S\mathtt{x}, \\ \exists y\ (\neg{\!\!}&H\mathtt{x}y \lor S\mathtt{x}), \\ \exists y\ &H\mathtt{x}y \to S\mathtt{x}, \\ \forall x\ \exists y\ &Hxy \to Sx. \end{align}

No la lógica clásica no sé. En algunos sí (por ejemplo, esta es la forma de implementar existencial de tipos de Haskell), pero las cosas se sutiles y no soy experto lo suficiente como para escribir sobre ella.

Espero que le ayuda a $\ddot\smile$