¿Son todos los infinitos iguales?

Question

Un amigo mío intentaba explicarme cómo todos los infinitos son iguales. Por ejemplo, decían que hay la misma cantidad de números entre $0$ - $1$ como hay entre $0$ - $2$ .

Tal y como lo explicaban, se podía demostrar que hay la misma cantidad de números consiguiendo una coincidencia con cada uno de ellos.

Por ejemplo, para cualquier número en el rango de $0$ - $2$ se puede encontrar un número coincidente en el rango $0$ - $1$ dividiendo el número por 2. En todos los casos, el número final terminará entre $0$ - $1$ . Además, si se multiplica cualquier número en el rango de $0$ - $1$ por 2, siempre terminará con un número entre $0$ - $2$ Por lo tanto, debería haber la misma cantidad infinita de números entre $0$ - $1$ como hay entre $0$ - $2$ .

¿Es correcto este principio?
El problema que tenía era que, si de hecho hay la misma cantidad de números entre 0 y 1 que entre 0 y 2, ¿por qué 2 es mayor que 1?

Answer 1

En primer lugar, probablemente sea conveniente especificar más claramente lo que se quiere decir cuando se dice "infinito". Hay muchos conceptos diferentes de infinito que son bastante diferentes. Por ejemplo, en el contexto de los límites se puede decir que una cantidad o función "llega al infinito", pero en ese caso sólo significa que "se hace (y se mantiene) arbitrariamente grande". Ese es un tipo de infinito completamente diferente al infinito del que se habla cuando se dice "cuántos". "Cuántos elementos tiene este conjunto" se llama el cardinalidad de ese conjunto, y de eso trata el argumento de su amigo. Obsérvese que "cuán grande es" puede referirse o no a la cardinalidad, es decir, a "cuántos" (más adelante llegaré a otra noción). Esta otra noción también tiene un concepto si infinito, pero ese concepto es diferente del concepto de cardinalidad. Como el argumento de tu amigo se refería a la cardinalidad ("cuántos"), en lo sucesivo utilizaré "infinito" en el sentido de cardinalidad, como "infinitamente muchos".

Bien, ¿qué significa entonces preguntar "cuántos"? Bueno, con los conjuntos finitos, hay una forma bien conocida de responder a esa pregunta, y esa forma se conoce como "contar": Eliges un elemento de ese conjunto y dices "uno". Eliges otro elemento de ese conjunto y dices "dos". En cuanto te quedas sin elementos, el último número que has dicho es el número de elementos de ese conjunto.

Ahora veamos lo que ha hecho de esa manera: Has elegido un objeto y le has asignado el número $1$ (es decir, a partir de ahora, es el "primer objeto"). Has elegido otro objeto y le has asignado el número $2$ y así sucesivamente. Así que, finalmente, asumiendo que hay $n$ objetos en el conjunto, cada objeto tiene un número entre $1$ y $n$ inclusive, y a cada número le corresponde un único objeto que obtuvo ese número. En otras palabras, al contar los objetos, has establecido una relación uno a uno entre ese conjunto y los objetos del conjunto "números del 1 al $n$ ". Por supuesto, también podrías empezar a contar con $0$ (como podría hacer si es un programador de C acostumbrado a las matrices basadas en cero, o un matemático acostumbrado a los números naturales para incluir el $0$ ), y terminar con $n-1$ como último número. Pero eso no importa porque hay como muchos números naturales entre $0$ y $n-1$ como hay entre $1$ y $n$ como se puede comprobar fácilmente contándolas (ya sea contando el conjunto $\{0,\dots,n-1\}$ empezando por $1$ o contar el conjunto $\{1,\dots,n\}$ empezando por $0$ ; en ambos casos lo que se hace es establecer una relación de uno a uno entre los conjuntos). De hecho, se puede incluso definir los números naturales como conjuntos de todos los números naturales por debajo, con $0$ siendo el conjunto vacío, en ese caso, el número $n$ tiene exactamente $n$ elementos, y por lo tanto hay una relación de uno a uno entre el número $n$ y cualquier $n$ -conjunto de elementos. (Observación al margen: Esta construcción de los números naturales también puede extenderse a los números infinitos y da lugar a otro más concepto de infinito, del que no hablaré aquí).

La cuestión es que, siempre que haya una relación uno a uno entre dos conjuntos, éstos tienen el mismo número de elementos. Esta es una definición útil porque se puede utilizar incluso para conjuntos infinitos, donde el procedimiento literal de contar uno tras otro no terminaría nunca. Por tanto, dos conjuntos tienen, por definición, el mismo número de elementos si existe una relación de uno a uno entre los dos conjuntos.

Con este conocimiento podemos ver ahora que, en el contexto de la cardinalidad, la pregunta "¿son todos los infinitos iguales?" significa "¿existe un mapeo uno a uno entre dos conjuntos infinitos cualesquiera?" Y en el caso concreto de los números entre $0$ y $1$ (es decir, el intervalo $(0,1)$ ) y los números entre $0$ y $2$ (es decir, el intervalo $(0,2)$ ), la pregunta puede reformularse como "¿Existe un mapeo uno a uno entre los números del intervalo $(0,1)$ y el intervalo $(0,2)$ "?

No es cierto que todos los infinitos sean iguales, pero es es cierto que el intervalo $(0,1)$ contiene tantos números como el intervalo $(0,2)$ . Sin embargo, aunque hay infinitos números en $(0,1)$ y también infinitos números naturales, hay más números en el intervalo $(0,1)$ que números naturales.

Para ver que hay tantos números en $(0,1)$ y en $(0,2)$ , sólo hay que tener en cuenta la función $f:x\mapsto 2x$ . Esa función da para cada número en $(0,1)$ un número en $(0,2)$ y cada número de $(0,2)$ sí se puede alcanzar. Por lo tanto, hay un mapeo uno a uno entre los números en $(0,1)$ y $(0,2)$ .

Sin embargo, no hay una correspondencia unívoca entre los números enteros y los números de $(0,1)$ . La prueba clásica de esto es el argumento diagonal de Cantor: Supongamos que se tiene un mapeo uno a uno entre los números naturales y los números en $(0,1)$ es decir, un mapeo $\mathbb N\to (0,1), n\mapsto a_n$ . A continuación, escriba los números en ( $0,1)$ en decimal. Entonces puedes construir un número $x\in(0,1)$ por la siguiente regla: El número empieza por $0.$ y el $n$ -ésima cifra decimal de $x$ es $3$ , a menos que el $n$ -ésima cifra decimal de $a_n$ es $3$ , en cuyo caso se elige $5$ en su lugar. Ahora el número $x$ está claramente en el intervalo $(0,1)$ Por lo tanto, debería ser uno de los $a_n$ s. Sin embargo, para cada $n$ se diferencia de $a_n$ en el $n$ decimal, por lo que no puede estar en la lista, y por lo tanto la lista no puede estar completa.

Bien, pero dado que hay tantos números entre $0$ y $1$ como hay entre $0$ y $2$ Así que, ¿cómo puede $2$ ser mayor que $1$ ? Bueno, la respuesta más sencilla es que el número es no una indicación de cuántos números hay por debajo de él (esto es diferente a los números naturales, donde sí hay exactamente $n$ números naturales por debajo de $n$ ). Sin embargo, se ha definido un pedir entre los números reales, que coincide con la de los números naturales incrustados en ella. Básicamente, todo número positivo $x$ es mayor que $0$ y mayor que cualquier otro número positivo entre $0$ y $x$ y lo contrario es cierto para los números negativos.

Sin embargo, puede seguir insistiendo en que el intervalo $(0,2)$ es el doble de grande como el intervalo $(0,1)$ . Y tienes razón. Pero, ¿cómo que encaja con el hecho de que hay tantos números en $(0,1)$ como hay en $(0,2)$ ? Bueno, la cuestión es que al determinar el tamaño del intervalo, se hace no contar los números en ella (de hecho, como se muestra arriba en el argumento de la diagonal, se no puede contarlos). En su lugar definir el tamaño del intervalo (y de conjuntos de números más generales). Una función de este tipo, que indica el tamaño de un conjunto, se llama medida. Sólo hay que asegurarse de que la medida tiene algunas propiedades obvias: El tamaño del conjunto no debe cambiar, por supuesto, si sólo se mueve, el conjunto vacío (es decir, cuando se tiene ningún número ) debe tener el tamaño $0$ y si tienes dos conjuntos distintos (como los números entre $1$ y $2$ y además los números entre $4$ y $6$ ), el tamaño total debe ser la suma de los tamaños. Con estas propiedades básicas, y la suposición de que $(0,1)$ debe tener un tamaño finito (esto implica que un conjunto formado por un solo número, es decir, un solo punto de la recta real, tiene un tamaño $0$ ), ya se obtiene que el intervalo $(0,2)$ es el doble de grande que el intervalo $(0,1)$ : Se obtienen los números entre $0$ y $2$ como los números entre $0$ y $1$ el número $1$ (pero eso tiene tamaño $0$ ), y los números entre $1$ y $2$ (pero esos son sólo los números entre $0$ y $1$ desplazado a la derecha por $1$ ). Por lo tanto, si el intervalo $(0,1)$ tiene tamaño $x$ el intervalo $(0,2)$ tiene tamaño $x+0+x=2x$ por lo que, efectivamente, es el doble de grande.

Answer 2

El problema que tenía era que, si de hecho hay la misma cantidad de números entre 0 y 1 que entre 0 y 2, ¿por qué 2 es mayor que 1?

¿Por qué cree que esos dos hechos entran en conflicto? No lo digo a la ligera: ante dos hechos aparentemente contradictorios, uno debe reflexionar fuertemente sobre por qué crees que hay un conflicto. Además, deberías preguntarte por qué crees que las declaraciones son hechos, pero eso no es relevante para este asunto.

Sólo cuando entiendas con suficiente detalle por qué crees que las dos afirmaciones entran en conflicto, serás capaz de identificar qué creencia tienes que es errónea para que puedas ir corrigiendo esa creencia.

El argumento de tu amigo demuestra que la noción de "número de puntos en un intervalo" y la noción de "longitud de un intervalo" no coinciden. En realidad, son nociones muy diferentes. Al final, esto (y otros hechos relacionados) es lo que se quiere intuir. Pero para llegar a ese punto, ¡tienes que entender por qué actualmente lo intuyes de forma diferente!

Podemos adivinar la razón. Creo que la conjetura más probable es que está extrapolando la noción familiar de medir objetos igualmente espaciados. por ejemplo, la longitud de las siguientes líneas

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corresponde directamente al número de guiones de cada línea. Sin la experiencia de pensar realmente en un continuo En cambio, tu intuición se aferró a esta idea (y probablemente sin que te dieras cuenta de ello).

Si este es realmente el problema, entonces la manera de resolver las cosas es probablemente tratar de entender por qué su intuición funciona en el caso familiar. Por qué ¿la longitud de cada una de las líneas anteriores se corresponde con el número de guiones que contiene?

Una explicación es que tenemos un principio geométrico conocido:

• La longitud de un par de segmentos de línea consecutivos es la suma de las longitudes individuales

y un principio de conteo conocido

• El número de objetos de un par de conjuntos es la suma del número de objetos de los conjuntos individuales

En el caso de las líneas anteriores, podemos dividir el conjunto en partes individuales: guiones individuales - -- y luego aplicar los dos principios en paralelo para "sumarlos" de nuevo, y relacionar la longitud total con el número total. (¿Puedes escribir un enunciado riguroso de la relación y demostrarlo?)

Ahora bien, ¿qué ocurre si se intenta repetir este análisis en el caso de un intervalo continuo y el número de puntos que contiene?

Answer 3

Deseo abordar su segunda pregunta "¿por qué es $2$ mayor que $1$ ?" :

Deberíamos preguntarnos primero: ¿qué es $1$ ¿Qué es? $2$ ?

Bueno, tenemos que empezar a definir los números naturales y estamos trabajando con conjuntos, por axioma el conjunto vacío $\emptyset$ existe y como contiene $0$ elementos, es natural definir $0:=\varnothing$ .

Otro axioma es que si $A$ es un conjunto entonces también $\{A\}$ es un conjunto, por lo que tenemos $\{\varnothing\}$ es un conjunto y contiene $1$ así que vamos a definir $1:=\{\varnothing\}=\{0\}$ .

Del mismo modo, definimos $2:=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}=\{0,1\}$ etc.".

Ahora que hemos definido los números naturales podemos definir cuando un número es menor que otro. La definición es $x<y$ es $x\subset y$ y $x\neq y$ .

Claramente $\{\varnothing\}\neq\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$ y $\{\varnothing\}\subsetneq\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$

Así que esta es una prueba, por definición, de por qué $1<2$ .

Answer 4

Se puede demostrar de la misma manera que hay tantos números naturales como números naturales pares, multiplicando o dividiendo por dos. Pero eso no cambia el hecho de que los números naturales pares son un subconjunto propio de todos los números naturales: todo número natural par es un número natural, pero hay números naturales que no son pares.

De forma similar a la prueba que has descrito, puedes demostrar que para cualquier $x>0$ el intervalo $[0,x]$ contiene el mismo número de puntos (de hecho, todo el conjunto de números reales contiene el mismo número de puntos). Esto sólo demuestra que la ordenación de los números reales es no relacionados con el "tamaño" de los intervalos en términos de cardinalidad (número de puntos).

Para responder a su última pregunta, por qué 2 es mayor que 1 lo es por definición. Lo que es exactamente la definición depende de cómo construyas los números reales e introduzcas un ordenamiento en ellos, pero seguramente puedes ver que podemos introducir un ordenamiento lineal diferente en la línea real, por ejemplo definir $x\preceq y$ si $x\geq y$ . Entonces, en el sentido de esta "nueva" ordenación, 2 es no mayor que 1. El hecho que citaste sólo demuestra que no hay manera de ordenar linealmente los reales comparando números de puntos en intervalos (porque entonces siempre tendremos algunos elementos que serán incomparables).

Answer 5

Lo que tu amigo intentaba explicar es el concepto de "números transinfinitos". La respuesta breve a la pregunta del título es que muchos infinitos son iguales, pero algunos infinitos no lo son.

La prueba que das es válida; para cualquier $0\leq x\leq 2$ Si $y=x/2$ entonces $0<y<1$ y viceversa. Por lo tanto, aunque ambos rangos tienen un número infinito de números, debe haber el mismo número de números en ambos rangos, porque tenemos una transformación 1:1 posible entre los dos conjuntos, mediante la cual cada número de un conjunto puede convertirse en un número del otro conjunto y viceversa, sin solapamiento (ningún valor del conjunto fuente puede producir el mismo número del conjunto resultante), sin huecos (todos los valores del conjunto resultante pueden producirse con algún valor del conjunto fuente) y sin ambigüedad (ningún valor del conjunto fuente puede producir dos valores en el conjunto resultante). Si no hubiera el mismo número de números en ambos conjuntos, no habría una transformación (llamada biyección) que cumpliera todas las condiciones anteriores.

Esta cantidad de números es "aleph-null" $\aleph_0$ y es la cardinalidad del conjunto de todos los números racionales (porque la misma demostración vale para cualquier $0\leq x\leq 2n$ y $0\leq y\leq n$ como $n \to \infty$ ), y para el conjunto de todos los números naturales (porque para cualquier natural $0\leq x\leq 10^n$ hay un $y=x/10^n$ tal que $0\leq y \leq 1$ por lo que hay el mismo número de números racionales entre 0 y 1 que entre 0 y cualquier potencia de 10) y el conjunto de todos los enteros (hay una biyección similar que puede proyectar uniformemente cualquier natural $n \in \mathbb N \to i \in \mathbb Z$ y por tanto hay tantos enteros como números naturales).

Sin embargo, hay un número mayor de números reales (racionales e irracionales) que aleph-null. Este teorema se basa en la diferencia entre un racional y un irracional; el número de decimales no repetidos de cualquier número racional, aunque pueda ser incontablemente grande, es finito por definición; podemos decir que tiene una "precisión" finita. Un número real tiene una precisión infinita; podríamos conectar un RNG (algo basado en la aleatoriedad no computacional) a una impresora y hacer que imprima dígitos aleatorios hasta el final del tiempo, y después de imprimir cada nuevo dígito, tenemos un número real completamente nuevo. Hay aleph-null posibles números reales que se pueden producir concatenando los dígitos de cualquier número natural arbitrario a un número real existente. Por lo tanto, la cardinalidad del conjunto infinito de todos los números irracionales es igual a la cardinalidad del conjunto de todos los números naturales. Esta cardinalidad se suele denominar "beth-one" ( $\beth_1$ ), que se define afirmando que $\beth_0 = \aleph_0$ y que cualquier $\beth_{n+1} = 2^{\beth_n}$ (la cardinalidad del "conjunto de potencias" - el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto). No utilizamos un número aleph para esto porque los números aleph se definen como cardinales; hay un número $\aleph_1$ que se define como uno más que $\aleph_0$ , mientras que los números beth están definidos por una serie exponencial, no incremental.

En cuanto a por qué 2 es mayor que 1, dado que hay el mismo número de cifras entre dos números cualesquiera, es bastante sencillo; el valor de 2 no depende de cuántos racional o real números que hay entre él y cualquier otro punto de referencia (como el 0). Depende de cuántos natural números que hay entre él y el cero, y que conjunto es finito y contable.