¿Es el círculo una curva racional y cuál es su campo de funciones?

Question

Parece que el círculo ( $S^1=\{X^2+Y^2=1\}\subseteq k^2$ para $k$ un campo) es una curva racional: tiene parametrización $X=2T/(T^2+1)$ y $Y=(T^2-1)/(T^2+1)$ .

Por otra parte, tenemos un teorema según el cual una variedad es racional si su campo de funciones es trascendental puro (por ejemplo, Miles Reid, Ugrad Alg. Geo. 5.9). Creo que el campo de funciones del círculo es $k(X,\sqrt{1-X^2}),$ que es una extensión algebraica de $k(X)$ por lo que no es puramente trascendental. ¿Qué hay de malo en esta imagen?

Answer 1

Creo que hay cierta confusión sobre las extensiones puramente trascendentales. Nótese que $k(\sqrt{x})/k$ es puramente trascendental, a pesar de $k(\sqrt{x})/k(x)$ siendo algebraica. Del mismo modo, si podemos demostrar que si $k(x, \sqrt{1 - x^2})$ está generado por un único elemento trascendental sobre $k$ entonces $k(S^1)$ será una extensión puramente trascendental de $k$ .

Consideremos la extensión puramente trascendental $k(x + \sqrt{1-x^2})/k$ . Para simplificar supondremos que la característica de $k$ no es $2$ . Claramente $k(x + \sqrt{1-x^2}) \subseteq k(x, \sqrt{1-x^2})$ por lo que basta con demostrar la inclusión inversa. Obsérvese que $$ (x+\sqrt{1-x^2})^2 = x^2 + 2 \sqrt{1 - x^2} + (1 - x^2) = 2 \sqrt{1-x^2} + 1. $$ Por lo tanto $\sqrt{1-x^2} \in k(x+ \sqrt{1-x^2})$ lo que también implica que $x \in k(x + \sqrt{1-x^2})$ . Así $k(x+\sqrt{1-x^2}) = k(x, \sqrt{1-x^2})$ por lo que el campo de funciones del círculo es, de hecho, una extensión puramente trascendental de $k$ Por lo tanto $S^1$ es racional.

Edita: Hay un error en esta prueba que se corrige en mi respuesta aquí .

Es importante señalar que el argumento anterior falla para otras curvas. Por ejemplo, el campo de funciones de la curva elíptica $y^2 = x^3 - x$ es $k(x, \sqrt{x^3 - x})$ que no es una extensión puramente trascendental de $k$ .

Answer 2

Demasiado largo para un comentario:

En primer lugar, creo que el teorema de Reid habla del campo de funciones en $\,k\,$ no sobre otro campo de función, por ejemplo $\,k(X)\,$ a menos que "empiece" por el último campo.

En segundo lugar, no creo que usted tiene la expresión más fácil para el campo de funciones del círculo, y creo que es posible que desee leer este las 2/3 primeras páginas. No se deje confundir por el título del documento.