¿Cómo podemos demostrar los siguientes límites (similares)?
$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} (\ln 2 - \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} - \cdots -\frac{1}{2n + 2}) \to 0. $$
$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} (\ln 3 - \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} - \cdots -\frac{1}{3n + 3}) \to 0. $$
Tenemos $$\sum_{k\leq n}\frac{1}{k}\left(\log\left(2\right)-\frac{1}{n+2}-\dots-\frac{1}{2n+2}\right)=H_{n}\left(\log\left(2\right)-\sum_{j=n+2}^{2n+2}\frac{1}{j}\right)=H_{n}\left(\log\left(2\right)-H_{2n+2}+H_{n+1}\right) $$ donde $H_{n} $ es el $n $ -el número armónico. Recordando que $$H_{n}=\log\left(n\right)+\gamma+O\left(\frac{1}{n}\right) $$ como $n\rightarrow\infty $ tenemos $$H_{n}\left(\log\left(2\right)-H_{2n+2}+H_{n+1}\right)=\left(\log\left(n\right)+\gamma+O\left(\frac{1}{n}\right)\right)\left(\log\left(2\right)-\log\left(2n+2\right)+\log\left(n+1\right)+O\left(\frac{1}{n}\right)\right)= $$ $$=\left(\log\left(n\right)+\gamma+O\left(\frac{1}{n}\right)\right)O\left(\frac{1}{n}\right)=O\left(\frac{\log\left(n\right)}{n}\right) $$ entonces su reclamo. El otro caso es similar. De hecho, obtendrá $$\left(\log\left(3\right)-\log\left(3n+3\right)+\log\left(n+1\right)+O\left(\frac{1}{n}\right)\right)=\left(\log\left(\frac{3n+3}{3n+3}\right)+O\left(\frac{1}{n}\right)\right)=O\left(\frac{1}{n}\right). $$
¿Qué quiere decir con $O$ exactamente (sólo estoy familiarizado con pequeñas $o$ notación para infinitesimales)? Por último, ¿podrías añadir al menos un esquema de tu trabajo para el otro caso (para comprobar el mío)?
@mathlearner La notación $f\left(x\right)=O\left(g\left(x\right)\right)$ significa que existe algún $C>0$ tal que $\left|f\left(x\right)\right|\leq Cg\left(x\right)$ para $x$ en un barrio de $ x_{0}$ para algunos $x_{0}$ que también puede ser infinito.
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Sugerencia: Deja que $a_n \to \alpha$ y $b_n \to \beta$ como $n\to \infty$ . Entonces, $$\frac{a_0b_n+a_1b_{n-1}+...+a_{n-1}b_1+a_nb_0}{n}$$ convergencia a $\alpha \beta$ .