No estoy seguro de si esto es lo que estás buscando (no sé nada sobre esquemas) pero hay al menos un Y para el que no existe tal mapa para ningún X conectado.
Sea $Y = \{1/2,1/3,...,0\}$ equipado con la topología del subespacio de $\mathbb{R}$ . Los componentes conectados de este espacio son los singletons, y todos ellos son abiertos excepto $\{0\}$ .
Supongamos que tenemos un mapa abierto, continuo y suryectivo $f:Y \to X$ con fibras finitas. Demostraremos que X es necesariamente desconectado.
Desde $f$ es un mapa abierto con fibras finitas, el conjunto $f(Y - \{0\})$ es infinito y todos sus puntos son abiertos. Si $f(Y - \{0\}) = X$ entonces X está desconectado y hemos terminado.
Supongamos que $f(Y - \{0\}) \neq X$ . Dado que f es finito a uno debe existir un k mayor tal que $f(1/2) = f(1/k)$ . Entonces $f(\{1/(k+1),1/(k+2),...,0\})$ es un conjunto abierto que contiene $f(0)$ pero no contiene $f(1/2)$ . De hecho, el complemento de $f(\{1/(k+1),1/(k+2),...,0\})$ es un número finito de puntos, todos ellos abiertos en X. Por lo tanto, X está desconectado.
Por otro lado, existe un espacio Y y un espacio conexo X para los que sí existe dicho mapa.
Sea $Y = \{(0,1/n) \times \{1-1/n\}: n \geq 1\} \cup \{(0,1)\} \subset \mathbb{R}^2$ . Sea $X$ sea el intervalo semiabierto $[0,1) \times \{0\}$ . Entonces el mapa de proyección de $Y$ à $X$ es un mapa abierto, continuo y suryectivo con fibras finitas.
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Su estado en $Y$ en el texto principal no es la misma que la que figura en el título: la primera nunca se satisface.
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@DustanLevenstein Si $Y$ es un espacio infinito profinito (un espacio compacto hausdorff totalmente desconectado), entonces como no es un espacio discreto, no es la unión disjunta de sus componentes conectadas (que no son más que los singletons). La clave es unión disjunta . Si $A,B$ son espacios, entonces cada uno de $A$ y $B$ es abra en $A\sqcup B$ .
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Oh, quieres decir unión disjunta como topología ¿no como un conjunto? No me ha quedado nada claro; por un momento me has dejado perplejo.
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@DustanLevenstein Lo siento si ha sido confuso. En general, siempre que hablo de objetos de una categoría determinada, por defecto cualquier construcción que mencione tendrá lugar en esa categoría. (Si quisiera una unión disjunta de conjuntos, entonces especificaría que fuera una unión disjunta como conjuntos )
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Simplemente me hace gracia que pensaras que era útil enfatizar unión disjunta .
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@oxeimon: Algunos de nosotros no pensamos en términos de teoría de categorías. Yo soy un topólogo teórico de conjuntos; para mí lo predeterminado es una unión disjunta como conjuntos, y todo espacio es la unión disjunta de sus componentes conectados, ya que estos últimos particionan el espacio. Ahora entiendo lo que preguntas, pero desde luego no lo habría hecho sin los comentarios.
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Considere el término suma topológica cuando se refiere a un espacio que es el coproducto de otros espacios de la categoría de espacios topológicos.
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Otro término que me gusta para este concepto es el de "unión discreta"; capta la idea utilizando una terminología especial adaptada a la categoría. Aunque me gusta pensar en términos categóricos, me parece mucho menos confuso utilizar una terminología especial adaptada a la categoría. Por ejemplo, no usamos "morfismos" cuando no es necesario: "funciones continuas" en topología; "homomorfismos" en grupos o anillos; "mapas lineales" en espacios vectoriales; etcétera.
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He modificado mi respuesta para incluir un espacio Y y un espacio conexo X en el que sí existe dicho mapa.