Haga adjunto a la imagen inversa funtor

Question

Deje $X$ ser un conjunto. Podemos activar $\mathcal P(X)$ (el juego de poder de $X$) en una categoría por tomar la inclusión de mapas como morfismos. Consideremos ahora una función de $f : X \to Y$, lo que induce a la functor $f^{-1} : \mathcal P(Y) \to \mathcal P(X)$. Ahora tenemos las identidades $$f^{-1} \left( \bigcup_{\alpha} V_{\alpha} \right) = \bigcup_{\alpha} f^{-1}(V_{\alpha}), \quad f^{-1} \left( \bigcap_{\alpha} V_{\alpha} \right) = \bigcap_{\alpha} f^{-1}(V_{\alpha}).$$ Ahora un límite/colimit en la categoría de $\mathcal P(X)$ es una intersección/la unión de los subconjuntos de a $X$, por lo que la primera ecuación dice que el $f^{-1}$ viajes con todos los límites/colimits. Si nuestras categorías son bastante agradable (que se supone, ya que todo aquí es pequeño, c.f. esta página de la Wikipedia), el Especial Adjunto Functor Teorema nos dice que $f^{-1}$ debe tener una izquierda-adjoint y un derecho-functor adjunto. Este : $$f(U) \subseteq V \quad \Longleftrightarrow \quad U \subseteq f^{-1}(V)$$ nos dice que $$\mathrm{Hom}_Y(f(U),V)) \simeq \mathrm{Hom}_X(U, f^{-1}(V))$$ así que supuse que $f : \mathcal P(X) \to \mathcal P(Y)$ asignación de $U \mapsto f(U)$ fue la izquierda-adjoint functor que yo estaba buscando, por lo que el $f^{-1}$ ha dejado-adjoint y conserva todos los límites, estamos felices.

Ahora la cosa es que no puedo encontrar el derecho adjuntos ; no $f$, y he probado varias otras cosas, no funciona.

Pregunta : en Primer lugar, ¿me entiendes todo lo anterior correctamente, o ¿me equivoco en algún lugar? No estoy muy familiarizado con los conceptos de límites y colimits y el teorema de la, todavía estoy aprendiendo estas cosas.

En segundo lugar, suponiendo que la respuesta a la primera pregunta es sí, ¿qué es el derecho-adjoint de $f^{-1}$?

Answer 1

Siguiendo sus pensamientos, buscamos un funtor$F:\mathcal P(X)\to\mathcal P(Y)$ que satisface $$\hom_{\mathcal P(X)}(f^{-1}(V),\,U) \simeq \hom_{\mathcal P(Y)}(V,\,F(U))\,.$ $ Dado que ambas categorías en cuestión son órdenes parciales de inclusión, esto significa exactamente eso$$ f^{-1}(V)\subseteq U\ \iff\ V\subseteq F(U) para todos$U\subseteq X,\ V\subseteq Y$ .
Esta sugerencia $F(U):=\bigcup\{V\,:\,f^{-1}(V)\subseteq U\}\ =\ \{y\in Y\,:\,f^{-1}(y)\subseteq U\}$. $\ $ (Véanse también los comentarios.)

Tenga en cuenta que, cuando se ve$f:X\to Y$ como$Y$ - indexados colección de sus fibras$\{f^{-1}(y)\}_{y\in Y}$, entonces$F(U)$ simplemente recoge los índices de las fibras que se incluye la totalidad% $U$.