Parcial De La Prueba:
Para el caso general de n variables, la desigualdad se convierte en:
$$\sum_i^n \frac1{1+a_1+a_2+\cdots+a_n-a_i}\le \sum_i^n\frac1{n-1+a_i}$$
Similar a la prueba de que podemos convertir $\frac {a_1}{a_1+(n-1)}$ como este:
$$\frac{a_1}{a_1+(n-1)}=\frac{a_1}{a_1+(n-1)(a_1a_2\cdots a_n)^{1/n}}$$
Dividiendo el numerador y el denominador por $a_1^{1/n}$:
$$a=\frac{a_1^{(n-1)/n}}{a_1^{(n-1)/n}+(n-1)\left(\frac{a_1a_2\cdots a_n}{a_1}\right)^{1/n}}
$$
Finalmente, el uso de AM-GM da:
$$\frac{a_2+a_3+\cdots+a_n}{(n-1)}\ge\left(a_2a_3\cdots a_n\right)^{1/(n-1)}$$
O:
$$(n-1)\left(a_2a_3\cdots a_n\right)\le (a_2+a_3+\cdots+a_n)^{n-1}$$
$$a=\frac{a_1^{(n-1)/n}}{a_1^{(n-1)/n}+(n-1)\left(\frac{a_1a_2\cdots a_n}{a_1}\right)^{1/n}}
\ge\frac{a_1^{(n-1)/n}}{a_1^{(n-1)/n}+a_2^{(n-1)/n}+\cdots+a_n^{(n-1)/n}}$$
Por eso, $$\sum_i^n\frac{a_i}{a_i+(n-1)}\ge\sum_i^n\frac{a_1^{(n-1)/n}}{a_1^{(n-1)/n}+a_2^{(n-1)/n}+\cdots+a_n^{(n-1)/n}}=1\tag{i}$$
Hemos demostrado lo que necesitamos para el caso general de n-variables, intenta poner a $n=3$.
Dado que el producto de todos los números es 1, podemos definir una nueva fracciones como: Vamos a $$\displaystyle a_1:=\frac{x_1}{x_2},a_2:=\frac{x_2}{x_3},\cdots,a_n:=\frac{x_n}{x_1}$$
Observe que en la prueba:
$$\frac{b}{ab+b+1}=\frac{x_2/x_3}{x_1/x_2.x_2/x_3+x_2/x_3+1}=\frac{x_2}{x_1+x_2+x_3 }$$
Ahora similar a la prueba de que podemos mostrar que(paso no probado):
$$\frac{2}{a_1+(n-1)}-\frac{1}{1+a_2+a_3+\cdots+a_n}-\frac{x_2}{x_!+x_2+\cdots+x_n }\ge0$$
$$\frac{2}{a_1+(n-1)}\ge \frac{1}{1+a_2+a_3+\cdots+a_n}+\frac{x_2}{x_1+x_2+\cdots+x_n }$$
$$\frac1{a_1+(n-1)}+\frac1{a_1+(n-1)}\ge\frac{1}{1+a_2+a_3+\cdots+a_n}+\frac{x_2}{x_1+x_2+\cdots+x_n }$$
Desde $\displaystyle \sum_i^n\frac{x_2}{x_1+x_2+\cdots+x_n }=1$
$$\frac1{a_1+(n-1)}+\frac1{a_1+(n-1)}\ge\frac{1}{1+a_2+a_3+\cdots+a_n}+1$$
$$\sum_{cyc}\frac{1}{a_1+(n-1)}-\sum_{cyc,i}\frac1{1+a_2+a_3+\cdots+a_n }\ge1-\sum_{cyc}\frac{1}{a_1+(n-1)}\ge0 $$
El$\ge0$ parte, hemos demostrado en el apartado (i).
Así,
$${\large \sum_{cyc}\frac{1}{a_1+(n-1)}\ge\sum_{cyc,i}\frac1{1+\sum_{cyc,j\ne i}a_j}}\Box$$
