Empecé a enseñar a mí mismo Número de la Teoría a partir de un bonito libro de texto básico y tengo completamente atascado con este problema.
Deje $x$ $y$ dos no-cero de números naturales tal que $7x^5=11y^{13}$ . El valor más bajo posible para $x$ tiene una factorización en primos de la forma $a^cb^d$ . ¿Cuál es el valor de la suma de $a+b+c+d$ ?
¿Alguien puede mostrar una solución ? Estoy mucho más interesado en la manera de pensar más que el resultado.
De$7x^5 = 11y^{13}$, $11$ divide $x$ $7$ divide $y$. Deje $x=7^a 11^b m$ $y=7^c11^dn$ donde $$\gcd(m,7)=\gcd(m,11)=\gcd(n,7)=\gcd(n,11)=1$$ Esto nos da que $$7^{5a+1}11^{5b}m^5 = 7^{13c}11^{13d+1}n^{13}$$ Esto significa $5a+1=13c$, $5b=13d+1$ y $m^5=n^{13}$. Ya que estamos, después de la más pequeña posible,$x$, tenemos $m=n=1$, $a=5,c=2$ y $b=8,d=3$. Esto nos da que $$x=7^5\cdot11^8$$
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