Una pregunta de la homología celular.

Question

Dejemos que X sea el complejo 2 obtenido de $S^{1}$ con su estructura celular habitual, uniendo dos 2 celdas por mapas de grados 2 y 3, respectivamente. a) Calcular los grupos de homología de todos los subcomplejos $A ⊂ X$ y el corre complejos de cociente esponjoso X/A . b) Demostrar que X es homotropía equivalente a $S^{2}$ y que el único subcomplejo $A ⊂ X$ para el cual el cociente El mapa X →X/A es una equivalencia de homotropía es el subcomplejo trivial, la célula 0.

He calculado las homologías y éstas son:

Caso 1 : A es 1 esqueleto , $H_0(X/A)= Z$ , $H_2(X/A)= Z \bigoplus Z$ y $0$ de lo contrario.

Caso 2: Para otros subcomplejos propios no triviales , $H_i(X/A)= Z$ para $i=0,2$ y $0$ de lo contrario.

Pero necesito ayuda para la segunda parte de la pregunta.

¡Gracias!

Answer 1

Sé que es un problema de Hatcher HW, así que no daré la respuesta. Pero el mismo Allen Hatcher pensó que este problema era demasiado difícil, y da una pista extra en esta página (tienes que desplazarte hacia abajo para verlo): Ejercicios adicionales de la nacedora

Answer 2

Puedes encontrar una idea para la solución aquí: http://www.math.ku.dk/~moller/blok1_05/AT-ex.pdf?q=allen-hatcher en la página 26.