Cubriendo el avión por las plazas!

Question

$K_n$ es una secuencia de cuadrados de área $a_n$. Mostrar que si $\sum_{n=1}^\infty a_n=\infty$ entonces podemos arreglar las plazas $K_n$ para cubrir los $\mathbb{R}^2$.

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Comentarios:
-obviamente, podemos suponer que $a_n\to0$$n\to\infty$.
-WLoG podemos por otra parte supongamos que $a_1\gt a_2\gt a_3\gt\ldots$.
-Eso es suficiente para demostrar que podemos cubierta de la unidad de la plaza en el avión, porque la unidad de la plaza es compacto.

Answer 1

Se sigue inmediatamente del hecho de que cualquier conjunto finito de plazas con superficie total $\geq 4$ puede cubrir una plaza de la zona 1. (La prueba en el enlace es un poco complicado, pero la idea es no. Reducir cada cuadrado por lo que su tamaño es uno de 1, 1/2, 1/4, 1/8, .... Entonces repetidamente encontrar y combinar cuatro plazas de la misma área para hacer un cuadrado más grande.)

Answer 2

Resuelto por la CMU Matemáticas Almuerzo del Grupo. Misha Lavrov, fue el que vino con la idea. Básicamente, la cobertura de la estrategia es generalizar la cobertura de la estrategia en $1$-dimensional caso.

Lema Dada una secuencia de números que disminuyen $a_1, a_2, \dots$ tal que $\sum a_i^2 = \infty$. Deje $n(i)$ se define inductivamente: es el menor número natural $m$ tal que $$a_{n(1) + \dots + n(i-1)+1} + \dots + a_{n(1) + \dots + n(i-1)+m} \ge 1.$$ If $b_i = a_{n(1)+\dots+n(i)}$, then $\sum b_i = \infty$.

La prueba del Lema Nota que $$a_{n(1) + \dots + n(i-1)+1} + \dots + a_{n(1) + \dots + n(i-1)+n(i)-1} < 1$$ and so $$\begin{eqnarray}& & a^2_{n(1) + \dots + n(i-1)+1} + \dots + a^2_{n(1) + \dots + n(i-1)+n(i)-1} + a^2_{n(1) + \dots + n(i-1)+n(i)} \\ &\leq& b_{i-1}(a_{n(1) + \dots + n(i-1)+1} + \dots + a_{n(1) + \dots + n(i-1)+n(i)-1}) + b_i^2 < b_{i-1} + b_i^2.\end{eqnarray}$$ Summing above inequality over all $yo$, we have $$\infty = \sum a_i^2 \leq \sum b_{i-1}+b_i^2 < (a_1 + 1)\sum b_i.$$

QED

Podemos suponer que los cuadrados tienen la disminución de la longitud de los lados $a_1, a_2, \dots$ y por la compacidad argumento, sólo se necesita la cubierta de la unidad de la plaza. Podemos elegir el primer $n(1)$ plazas para cubrir un 1 $b_1$ rectángulo y la próxima $n(2)$ plazas para cubrir un 1 $b_2$ plazas, etc. Lema dice $\sum b_i > 1$, y así podemos cubrir la unidad de la plaza.