Se nos da $f(0)=0$ . Entonces, cuando $x+y=0$ : $$0=f(-y)+f(-x)+xy$$ ¿Puedo utilizar ahora $x=0$ y obtener: $$0=f(-y)?$$ ¿Es esto correcto? ¿Hay una forma mejor de resolver esta ecuación?
Así que $f = \frac12 x^2 + bx$ ?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
clark
Puntos
5754
Establecer $f(x) = g(x) +\dfrac{x^2}{2}$ entonces al enchufar se obtiene $$\fbox{1}\,g(x+y)=g(x)+g(y).$$ Esto es La de Cauchy ecuación funcional. Y bajo ciertos supuestos de regularidad para $g$ se consigue que $g(x)=ax$ . Pero si no se da ninguno entonces $g$ es sólo una función lineal sobre $\mathbb{Q}$ los números racionales, por lo que cualquiera de ellos sería una solución adecuada.
Suponiendo que $f$ diferenciable, diferenciar la ecuación funcional implícitamente wrt. $x$ y $y$ para obtener dos ecuaciones más simples. A partir de ellas se obtiene $f'(t)=t+c$ después de algunas manipulaciones algebraicas simples.
Suponiendo que $f$ dos veces diferenciable, diferenciando dos veces wrt. $x$ da $f''(x+y)=f''(x)$ Así que $f''$ no depende de $y$ . Análogamente, demuestre que $f''$ no depende de $x$ . Así que $f''$ es constante. Así que...
¿Y cómo se diferencia la función sin su ecuación? Lo siento si es una pregunta estúpida, pero siempre he tenido que diferenciar funciones como $f(x)=ax^2+bx$ y así sucesivamente.
Sólo hay que diferenciar ambos lados tratando la otra variable como una constante. Por ejemplo, diferenciando por $x$ da $f'(x+y)=f'(x)+y$ . Esto implica la forma anterior para $f'$ (¿por qué?) y por lo tanto $f = \frac12 x^2 + bx+c$ , donde $c=0$ que se obtiene si se introduce esto en la ecuación original.
Phonics The Hedgehog
Puntos
111
vhspdfg
Puntos
355
Demuestro que la única solución es $f = \frac{1}{2}x^2 + bx$ (suponiendo que $f$ continua).
Mi estrategia era transformar $f(x+y) = f(x) + g(y) + xy$ en una ecuación lineal.
Escriba $f(x+y) = f(x) + g(y) + xy$ como $f(x+y) - \frac{1}{2}(x+y)^2 = (f(x) - \frac{1}{2}x^2) + (g(y) - \frac{1}{2}y^2)$ . Sustituir $g(z) = f(z) - \frac{1}{2}z^2$ . Entonces tenemos:
$g(x+y) = x+y$ que es lineal, por lo que $g(x) = bx$ (asumiendo la continuidad).
Así, $f(z) - \frac{1}{2}z^2 = bz$ Así que $f(z) = \frac{1}{2}z^2 + bz$ .
Sí, en el momento en que empecé a escribir la única otra respuesta era así. Lo editaré para omitir esa parte. Gracias.
Yah, las respuestas aquí fueron más rápidas que de costumbre. Voy a eliminar los comentarios.
mvw
Puntos
13437
6 votos
Si tiene ambos $x+y=0$ y $x=0$ Entonces, desgraciadamente $y=0$ así que sólo aprendiste que $f(0)=0$ .
0 votos
Bien, ¿cuál es el método adecuado?
0 votos
Tal vez, tenga en cuenta que $f(t)=t^2/2$ es una solución.
1 votos
Tomando $y=-x$ nos enteramos de que $f(x)+f(-x)=x^2$ para todos $x$ .
0 votos
¿Y qué sabemos de eso...?