Slick prueba?: un espacio del vector tiene la misma dimensión que su dual si y solamente si es finito dimensional

Question

Una muy importante teorema de álgebra lineal que rara vez se enseña es:

Un espacio vectorial tiene la misma dimensión como su doble si y sólo si es finito dimensionales.

He visto un total de una prueba de esta afirmación, en Jacobson "Conferencias en Álgebra Abstracta II: Álgebra Lineal". La prueba es bastante difícil y requiere algo realmente complicado, los argumentos acerca de la cardinalidad de usar, si recuerdo correctamente, secuencias infinitas para representar a $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ matrices. Alguien ha encontrado una mejor argumento en el 57 años desde Jacobson libro fue publicado, o se la tomó nota de la prueba siendo la única manera de demostrar este hecho?

Edit: como referencia, la prueba está en las páginas 244-248 de Jacobson

Conferencias en Álgebra Abstracta: II. Álgebra Lineal.

Answer 1

Aquí es una simple prueba de que he pensado, que me diga si algo está mal.

El primer reclamo. Deje $k$ ser un campo, $V$ un espacio vectorial de dimensión al menos la cardinalidad de a $k$ e infinito. Entonces dim $V^{*} >$ dim $V$.

De hecho, vamos a $E$ ser una base para $V$. Elementos de V* corresponden bijectively a las funciones de$E$$k$, mientras que elementos de la $V$ corresponden a tales funciones, con finito de apoyo. Por lo que la cardinalidad de a$V^{*}$$k^E$, mientras que la de $V$ es, si no estoy equivocado, igual a la de $E$.

De hecho, $V$ es una unión parametrizadas por $E$ de los conjuntos de cardinalidad igual a $E$. En particular, la tarjeta de $V < $ tarjeta de $V^{*}$, por lo que la misma desigualdad hols para las dimensiones.

Segunda afirmación. Deje $h \subset k$ dos campos. Si la tesis tiene para los espacios vectoriales en $h$, entonces se cumple para espacios vectoriales en $k$.

De hecho, vamos a $V$ ser un espacio vectorial sobre $k$, $E$ una base. Funciones finito con el apoyo de $E$ $h$forma un espacio vectorial $W$ $h$ tal que $V$ es isomorfo a la extensión de $W$. Cada funcionales de $W$ $h$se extiende a un funcional de$V$$k$, por lo tanto

dim $V =$ dim $W < $ dim $W^* \leq$ dim $V^*$

Hay que poner las dos reclamaciones juntos y usando el hecho de que cada campo contiene un campo en la mayoría de los numerable de los rendimientos de la tesis.

Answer 2

Es claramente suficiente para demostrar que un infinito dimensional espacio vectorial $V$ tiene dimensión menor que su doble $V^*$.

Deje $B$ ser una base de $V$, vamos a $\mathcal P(B)$ ser el conjunto de sus subconjuntos, y para cada una de las $A\in\mathcal P(B)$ deje $\chi_A\in V^*$ ser el único funcional en $V$ de manera tal que la restricción $\chi_A|_B$ es la función característica de a $A$. Esto nos da un mapa de $\chi:A\in\mathcal P(B)\mapsto\chi_A\in V^*$.

Ahora infinito álgebra booleana $\mathcal B$ contiene un subconjunto independiente $X$ tal que $|X|=|\mathcal B|$---aquí, que $X$ ser independiente significa que siempre que $n,m\geq0$ $x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m\in X$ tenemos $x_1\cdots x_n\overline y_1\cdots\overline y_n\neq0$. (Esto es cierto en esta generalidad, de acuerdo a [Balcar, B.; Franěk, F. Independiente de las familias en completa álgebras Booleanas. Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 274 (1982), no. 2, 607--618. MR0675069], pero al $\mathcal B=\mathcal P(Z)$ es el álgebra de subconjuntos de un conjunto infinito $Z$, este es un clásico teorema de [Fichtenholz, G. M; L. V. Kantorovich Sur les opérations linéaires dans l'espace des fonctions bornées. Studia Matemáticas. 5 (1934) 69--98.] y [Hausdorff, F. Über zwei Sätze von G. Fichtenholz und L. Kantorovich. Studia Matemáticas. 6 (1936) 18--19])

Si $X$ es un subconjunto independiente de $\mathcal P(B)$ (que es una completa infinito álgebra de boole), a continuación, $\chi(X)$ es un subconjunto linealmente independiente de $V^*$, como se puede comprobar fácilmente. De ello se desprende que la dimensión de $V^*$ al menos $|X|=|\mathcal P(B)|$, que es estrictamente mayor que $|B|$.

Más tarde: la prueba de La existencia de un subconjunto independiente no es difícil; se da, por ejemplo, en este notas por J. D. Monje como Teorema 8.9. En cualquier caso, creo que esta prueba es bastante porque capta precisamente la intuición (o, más bien, mi intuición) de por qué esto es cierto. No he visto el papel por Fichtenhold y Kantorovich (me gustaría obtener una copia!) pero a juzgar por su título uno ve que ellos estaban haciendo cosas similares...

Answer 3

Yo sé bastante de primaria de la prueba en el caso de que el campo contable.

Primero, demostrar que el $Hom(\bigoplus_{i\in I}A_{i},B)\cong \prod_{i\in I}Hom(A_{i},B)$, donde todos los términos son de $R$-módulos. (Esto debe ser bastante intuitivo. Un homomorphism de una suma directa es determinado por sus acciones en cada pieza individualmente.)

Segundo, se especializan $A_{i}$ $B$ a la igualdad de su campo. De modo que el producto directo es a través de un montón de piezas (todas isomorfo a su campo).

Tercero, utilizar el estándar de cardinalidad argumento para demostrar que un producto directo de la $I$ no vacía piezas tiene cardinalidad estrictamente mayor que $I$.

Este argumento no acaba de funcionar cuando el campo tiene grandes cardinalidad, pero yo todavía creo que es buena. (Básicamente, este es el pensamiento acerca de la primera parte de Andrea, de la prueba de manera un poco diferente.)