Gran parte de mi respuesta está sacada de mis propios apuntes que utilizo para enseñar Química General II.
¿Qué es -0,693?
Los procesos de desintegración radiactiva siguen una cinética de primer orden. Una reacción de primer orden es aquella en la que la velocidad depende sólo en la concentración de uno de los reactivos elevada a la primera potencia. Consideremos la siguiente reacción:
$$\mathrm{A} \longrightarrow \mathrm{products}$$
La tasa puede expresarse como la tasa de cambio en la concentración del reactivo con un cambio en el tiempo tal que
$$\mathrm{rate} = -\dfrac{\Delta[\mathrm{A}]}{\Delta t}$$
Esto significa simplemente que [A] está siendo consumido (es decir, convertidos en productos) a medida que la reacción avanza con el tiempo. La ley de velocidad correspondiente puede escribirse como
$$\mathrm{rate} = k[\mathrm{A}]$$
donde $k$ es una constante de velocidad. Podemos igualar estas dos expresiones para obtener
$$-\dfrac{\Delta[\mathrm{A}]}{\Delta t} = k[\mathrm{A}]$$
En este punto debemos aplicar un poco de cálculo. Escribamos la ecuación anterior en forma diferencial para obtener
$$-\dfrac{d[\mathrm{A}]}{dt} = k[\mathrm{A}]~\mathrm{or} ~\dfrac{d[\mathrm{A}]}{[\mathrm{A}]} = -kdt$$
Integrar más de $t=0$ a $t = t$ dar
$$\int_{[\mathrm{A}]_0}^{[\mathrm{A}]_t}\dfrac{d[\mathrm{A}]}{[\mathrm{A}]} = -k\int_0^t dt$$
lo que se traduce en
$$\ln[\mathrm{A}]_t - \ln[\mathrm{A}]_0 = -kt$$
o
$$ \ln\dfrac{[\mathrm{A}]_t}{[\mathrm{A}]_0}=-kt$$
donde $[\mathrm{A}]_0$ es una concentración inicial y $[\mathrm{A}]_t$ es la concentración en un momento dado, $t$ .
Ahora que tenemos nuestra ley de tasa integrada de primer orden, podemos hablar de la vida media. La vida media (denotada como $t_{\frac{1}{2}}$ ) es simplemente el tiempo necesario para que la concentración de algún reactivo descienda a medio su valor original (donde el valor original es simplemente [A] $_0$ . Así que
$$t = t_{\frac{1}{2}}~\mathrm{when}~[\mathrm{A}]_t = \dfrac{1}{2}[\mathrm{A}]_0$$
Dada esta relación, podemos reorganizar nuestra ley de tasa integrada de primer orden para resolver para $t$ tal que
$$\ln\dfrac{[\mathrm{A}]_t}{[\mathrm{A}]_0} = -kt~\longrightarrow~ t = \dfrac{1}{k}\ln\dfrac{[\mathrm{A}]_0}{[\mathrm{A}]_t} $$
Por lo tanto, podemos hacer algunas sustituciones simples en nuestra ley de tasa integrada de primer orden en $t = t_{\frac{1}{2}}$ dar
$$t_{\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{k}\ln\dfrac{[\mathrm{A}]_0}{\frac{1}{2}[\mathrm{A}]_0} $$
Podemos simplificar esta ecuación de forma que
$$t_{\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{k}\ln2\dfrac{[\mathrm{A}]_0}{[\mathrm{A}]_0} ~\longrightarrow~ t_{\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{k}\ln (2) ~\longrightarrow~ t_{\frac{1}{2}} = \dfrac{0.693}{k}$$
Así que para responder a su pregunta, el valor 0,693 proviene de la $\ln(2)$ término. Como ringo señaló a continuación (y voy a incluir aquí para ser exhaustivo), ahora puede resolver su ley de tasa integrada de primer orden para $t$ y sustituir en su ecuación de vida media tal que
$$\ln\dfrac{[\mathrm{A}]_t}{[\mathrm{A}]_0}=-kt ~\longrightarrow~ \dfrac{\ln\frac{[\mathrm{A}]_t}{[\mathrm{A}]_0}}{-k}=t ~\longrightarrow~ \dfrac{\ln\frac{[\mathrm{A}]_t}{[\mathrm{A}]_0}} { -\frac{0.693}{t_{\frac{1}{2}}} } =t $$
o más limpiamente...
$$t = \dfrac{\left(t_{\frac{1}{2}}\right) \left(\ln\frac{[\mathrm{A}]_t}{[\mathrm{A}]_0}\right)} {-0.693} $$
¿Cómo se consigue $N_0$ ?
Podrías conseguir $N_0$ examinando la actividad del carbono-14 en un objeto o una planta relativamente recientes. No se espera que el carbono 14 de una planta viva se haya descompuesto en absoluto (¡ya que su vida media es de más de 5.000 años!). Por lo tanto, puede utilizar su actividad para $N_0$ . Por supuesto, este procedimiento se basa en algunos supuestos, pero la datación por carbono 14 es, para empezar, una aproximación.
