¿Cómo puedo encontrar$f(3)$ if$f(2x)=f^2(x)-2f(x)-\frac{1}{2}$?

Question

Si$f(2x)=f^2(x)-2f(x)-\frac{1}{2}$ y$f(1) = 2$ luego encontrar$f(3)$.

¿Me puede dar algún indicio de que puedo empezar?

Answer 1

$f(2x)=f^2(x)-2f(x)-\frac{1}{2} $ y $f(1) = 2 $.

Puedo ver cómo llegar $f(2^n)$ y expresiones para $f(2^{-n})$, pero yo no ver cómo llegar $f(3)$.

Muestro lo que he conseguido hasta ahora. Todo bastante trivial.

$f(2x)+\frac32 =f^2(x)-2f(x)+1 =(f(x)-1)^2 $ así $f(x) =1\pm\sqrt{f(2x)+\frac32} $.

$x = 0 \implica f(0) = f^2(0)-2f(0)-\frac12 $ o $f^2(0)-3f(0) = \frac12 $ o $f^2(0)-3f(0)+9/4 =\frac12+9/4 =\frac{11}{4} $ o $(f(0)-\frac32)^2 =\frac{11}{4} $ o $f(0) =\frac32\pm\frac{\sqrt{11}}{2} $.

$x=1 \implica f(2) = -\frac12 $.

$x=\frac12 \implica f(\frac12) = 1\pm\sqrt{f(1)+\frac32} =1\pm\sqrt{\frac72} $.

Y eso es todo.