Integrales dobles sobre la región en general -cómo se acercan?

Question

Estoy en duda sobre cómo abordar un problema de integrales dobles sobre una región específica.

Tengo que calcular el $\int\int\limits_R e^x dA$, R es la región entre $y=\frac{x}{2}$, $y=x$, $y=\frac{1}{x}$ y $y=\frac{2}{x}$. Estoy interesado sólo en el primer cuadrante. Dicho esto, la región es la siguiente:

Y los puntos:

Donde es de 1.414 $\sqrt{2}$ y 0.707 es $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Mi enfoque, que estoy en duda de si es válido, fue el siguiente:

Dividir la región en 2 regiones y considerar cada nueva región un "caso 2" de la región y la suma de las integrales sobre cada región para obtener la integral sobre la región original:

La división se realiza con el fin de obtener el bien definidas las funciones de cada región. Es que un enfoque válido? Si no, ¿cómo debo enfocar este problema?

Answer 1

Su enfoque se ve muy bien, es ciertamente válido, y es claro que el pensamiento a través cuidadosamente el problema. En una situación como esta, otro posible enfoque a considerar sería mediante un cambio de variables.

Mediante un cambio de variables es uno de los métodos que podemos utilizar para integrar más de una región, en lugar de romper en la suma de las integrales sobre las sub-regiones. Un buen ejemplo para mirar a través de es la trapezoidal región discutido en el sitio web vinculado, por ejemplo,

Answer 2

Ajuste$$u=x/y,~~v=xy$ $ you get easily that $$1\le u,v\le 2$ $ y los principales integrales serán cambiados a los siguientes:

$$\int_1^2\int_1^2\exp(\sqrt{uv})|J|dudv$$ wherein $ J$ is the Jacobian determinant $ \ frac {\ partial (u, v)} {\ partial (x, y)} = 1 / 2u $. Parece que la integral indefinida asociado no se puede expresar mediante funciones elementales.