Las raíces del cubo no suman enteros

Question

Mi pregunta parece bastante obvia, pero estoy buscando una prueba estricta para esto. (Al menos, asumo que es cierto lo que afirmo).

¿Por qué la suma de dos raíces cúbicas de cubos positivos no perfectos no puede ser un número entero?

Por ejemplo: $\sqrt[3]{100}+\sqrt[3]{4}$ no es un número entero. Bueno, sé que esto parece obvio, pero no puedo probarlo...

Para números dados será fácil demostrarlo, encontrando límites inferiores y superiores para las raíces (o digamos tomar una calculadora y comprobarlo...).

Cualquier trabajo realizado hasta ahora:

Supongamos que $\sqrt[3]m+\sqrt[3]n=x$ , donde $x$ es un número entero. Esto se puede reescribir como $m+n+3x\sqrt[3]{mn}=x^3$ (elevando todo al poder de $3$ y luego sustituir $\sqrt[3]m+\sqrt[3]n=x$ de nuevo) por lo que $\sqrt[3]{mn}$ es racional, lo que implica que $mn$ es un cubo perfecto (esto se demuestra de forma similar a la conocida prueba de que $\sqrt2$ es irracional).

Ahora no sé cómo continuar. Una forma es poner $n=\frac{a^3}m$ , lo que da $m^2+a^3+3amx=mx^3$ pero no estoy seguro de que esto sea útil.

Tal vez la solución deba encontrarse de forma similar a como se haría con una calculadora: encontrando algunos límites y exprimiendo la suma de estas raíces entre dos enteros bien elegidos. Pero esto no es más que una idea descabellada.

Answer 1

Supongamos que $a+b=c$ para que $a+b-c=0$ con $a^3, b^3, c$ todos racionales.

Entonces tenemos $-3abc=a^3+b^3-c^3$ en virtud de la identidad $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$$ (toma $c$ con signo negativo)

Por lo tanto, $a+b$ y $ab$ son ambos racionales, por lo que $a$ y $b$ satisfacen una ecuación cuadrática con coeficientes racionales.

Hay muchas formas de completar la prueba a partir de aquí.