Teorema. Todo espacio de Hausdorff localmente compacto y de segundo conteo es un espacio polaco.
He pensado en citar un esbozo de prueba del hecho anterior de otro lugar.
El siguiente boceto es de https://golem.ph.utexas.edu/category/2008/08/polish_spaces.html
si X es segundo contable localmente compacto Hausdorff, entonces la compactación de un punto punto X+ es metrizable y compacta, por lo tanto completa (bajo cualquier métrica) y, por supuesto, segundo contable, por lo que X+ es polaco. Un subespacio abierto de un espacio polaco es polaco, por lo que X es polaco.
Bourbaki (que encontré como resultado de un libro de Google) proporcionó una ayuda inestimable ayuda.
En cuanto a por qué un subespacio abierto de un espacio polaco es polaco, de nuevo del mismo enlace:
No tenía ni idea de que un conjunto abierto de un espacio polaco fuera polaco - parecía parecía bastante difícil eliminar ese punto extra y encontrar una métrica métrica en lo que queda.
Ahora veo lo fácil que es: empezamos con una métrica en la compactación de un punto punto X+, eliminamos el punto en el infinito y "estiramos" la métrica cerca del punto eliminado para obtener una métrica completa sobre X.
En cuanto a por qué la compactificación de un punto es metrizable, la respuesta seleccionada del siguiente hilo explica cómo construir una base local contable en el infinito:
Si $X$ es localmente compacto, segundo contable y Hausdorff, entonces $X^*$ es metrizable y por tanto $X$ es metrizable
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¿Qué es un LCCB?
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Probablemente sea localmente compacto con una base contable
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Sí, lo siento, acabo de añadirlo.
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¿Querías preguntar si un espacio metrizable localmente compacto de segundo conteo es necesariamente polaco?
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Por localmente compacto con base contable, ¿te refieres a sigma-localmente-compacto? si es así, el espacio tendría la propiedad de lindelöf, y si está dotado de una métrica, sería separable.