Mostrando que la elección de punto en una curva es irrelevante para encontrar$f(z_0)$ en la curva de

Question

Antes de empezar pido disculpas por el horrible título, pero no tengo idea de cómo este título.

Así que el problema es el siguiente:

Deje $f(z)$ ser analítico y en una curva cerrada simple $\Gamma$, y deje $f(z)$ no tienen ceros en o $\Gamma$. Ahora vamos a $z_0$ ser un punto en $\Gamma$, y $z_1$, $z_2$ estar a dos puntos en $\Gamma$. Vamos $\gamma_1$ & $\gamma_2$ las dos curvas de la conexión $z_1$ & $z_2$ a $z_0$ respectivamente. Donde el integraion es hacia la $z_0$ dos veces muestran que

$$f(z_1)e^{\int_{\gamma_1}\frac{f'(x)}{f(x)}dx}=f(z_2)e^{\int_{\gamma_2}\frac{f'(x)}{f(x)}dx}$$

Y, a continuación, mostrar que ambos lados son iguales a $f(z_0)$.

Me dan una sugerencia para representar a $f(z_2)/f(z_1)$ como una integral a lo largo de la parte de $\Gamma$ que conecta estos dos puntos.

Aquí es donde comienza el problema y ahí es donde me gustaría empezar, pero estoy luchando con eso.

Una idea que yo tenía es que desde $f(z_0)$ no es igual a $0$, podría usar que yo podría hacer un disco lo suficientemente grande centrada en $z_0$ tal que $e^{w(z)}=f(z)$ donde $w(z)$ es, esencialmente, las dos integrales de arriba, solo voltear el signo.

Otra idea que creo que es mejor. Si puedo resolver la sugerencia, entonces yo podría hacer una nueva curva de $\gamma_3$ usar el arco que conecta $z_1$$z_2$$\gamma_1$$\gamma_2$, y luego el uso del teorema de Cauchy, por lo que el $\int_{\gamma_3}f(z)=0$, y me gustaría dividir esta integral en las tres partes que forman esta curva si podía averiguar.

Cualquier ayuda es muy apreciada, gracias de antemano.

Answer 1

Esto puede ser ingenuo de mí, sino $f'/f$ tiene una anti derivada (alguna rama del logaritmo, se $\log f$) definido en todas partes, en y sobre la curva, así que sólo podría evaluar cada expresión en los extremos:

\begin{align*} f(z_1)e^{\int_{\gamma_1}\frac{f'(z)}{f(z)}dz}&=f(z_1)e^{\log f(z_0)-\log f(z_1)}=f(z_1)\big(f(z_0)/f(z_1)\big)=f(z_0),\\ f(z_2)e^{\int_{\gamma_2}\frac{f'(z)}{f(z)}dz}&=f(z_2)e^{\log f(z_0)-\log f(z_2)}=f(z_2)\big(f(z_0)/f(z_2)\big)=f(z_0). \end{align*} ¿Hay alguna técnica que me estoy perdiendo aquí?

Edit: El procedimiento anterior puede ser utilizado sin la necesidad de asumir una rama del logaritmo existe en toda la curva--acaba de asumir que existe en simplemente conecta los barrios de $\gamma_1,\gamma_2$. También, he Aquí un método que utiliza la sugerencia:

Deje $\gamma_3$ es una curva simple principio en $z_1$ y viajes a $z_2$. $f'/f$ es analítica ($f\neq 0$) en el barrio (que podemos suponer--a través de la reducción, si es necesario, es simplemente conectado) de la imagen de $\gamma_3$, de modo que existe una holomorphic rama del logaritmo, $\log f$ en este barrio. Así

$$ \frac{f(z_2)}{f(z_1)}=e^{\int_{\gamma_3}\frac{f'(z)}{f(z)}dz}. $$

Entonces

$$ f(z_1)e^{\int_{\gamma_{1}}\frac{f'(z)}{f(z)}\,dz}=f(z_2)e^{\int_{\gamma_{1}}\frac{f'(z)}{f(z)}\,dz-\int_{\gamma{3}}\frac{f'(z)}{f(z)}\,dz}=f(z_2)e^{\int_{\gamma_2}\frac{f'(z)}{f(z)}\,dz} $$ Esto es cierto debido a la integración de más "$\gamma_1-\gamma_2-\gamma_3$" da cero por Cauchy teorema desde $f(z)\neq 0$ a todas partes (a dibujar una imagen), por lo que se deduce que la integración de más "$\gamma_1-\gamma_3$" es la misma como la integración de más de $\gamma_2$. Esperemos que este (no se realmente que es diferente) método de prestar un poco de perspicacia.

Answer 2

Darse cuenta de:

$\displaystyle\frac{f(z_{2})}{f(z_{1})}=\exp({\int_{C}\frac{f'(z)}{f(z)}d\mathrm{z}})$

Donde$C$ es el arco que va desde$z_{1}$ #% a% #% en la curva de$z_{2}$. Ahora puede ampliar los términos y utilizar el teorema de Cauchy para obtener el resultado.